Letzte Ziffer einer großen Zahl

11.02.2014, 08:35	Simon M	Auf diesen Beitrag antworten »
Letzte Ziffer einer großen Zahl Meine Frage: Hi! Wir sind gerade bei Restklassen Arithmetik und sollen ermitteln, was die letzte Ziffer von $\begin{eqnarray} 3^{100} \end{eqnarray}$ ist. Meine Ideen: Die Aufgabe ist doch äquivalent zur Frage nach der Lösung von $\begin{eqnarray} 3^{100}\ mod\ 10 = x \end{eqnarray}$ . Bringt mir dieser Ansatz etwas?
11.02.2014, 08:47	Simon M	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Letzte Ziffer einer großen Zahl Oder äquivalent zur Frage nach der kleinsten natürlich-zahligen Lösung von $\begin{eqnarray} 3^{100}\equiv x\ mod\ 10 \end{eqnarray}$ .
11.02.2014, 09:05	King Arthur	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 3^4\equiv 1 \mod 10 \end{eqnarray}$
11.02.2014, 09:08	Simon M	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie bist du darauf gekommen?
11.02.2014, 09:11	King Arthur	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe die Frage nicht. Es ist ja kein Geheimnis, dass $\begin{eqnarray} 3^4=81 \end{eqnarray}$ .
11.02.2014, 09:17	Simon M	Auf diesen Beitrag antworten »
Das nicht . Ich meine wie bist du ohne irgendwelche Zwischenschritte von $\begin{eqnarray} 3^{100}\equiv x\ mod\ 10 \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} 3^{4}\equiv 1\ mod\ 10 \end{eqnarray}$ gekommen? Und bedeutet das, die letzte Ziffer ist 1? (Wir haben so eine Aufgabe noch nicht zuvor gemacht)
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11.02.2014, 09:31	King Arthur	Auf diesen Beitrag antworten »
Du solltest dir eigentlich die Zwischenschritte überlegen. $\begin{eqnarray} 3^{100}=(3^4)^{25}\equiv 1^{25}\equiv 1 \mod 10 \end{eqnarray}$
11.02.2014, 09:38	Simon M	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Hilfe! Woher weißt du, dass $\begin{eqnarray} (3^{4})^{25}\equiv 1^{25}\ mod\ 10 \end{eqnarray}$ ist? Gibt es dazu einen Satz?
11.02.2014, 09:40	Simon M	Auf diesen Beitrag antworten »
PS: Also ich meine einen Satz, warum hier die Hochzahl 25 einfach weg fliegt?
11.02.2014, 09:47	King Arthur	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil $\begin{eqnarray} 3^4\equiv 1 \mod 10 \end{eqnarray}$ . Lies dir am besten mal die Rechenregeln für modulo durch.
11.02.2014, 10:32	Simon M	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar danke! Wenn so eine Aufgabe gestellt wird, dann wird die letzte Ziffer wohl immer 1 oder 0 sein oder? Weil wenn sie z.B. 4 wäre, dann hätte ich ja sowas wie $\begin{eqnarray} \equiv 4^{25}\ mod\ 10 \end{eqnarray}$ , und wer weiß schon was $\begin{eqnarray} 4^25 \end{eqnarray*}$ ist. Oder?
11.02.2014, 10:42	Simon M	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay war keine so wohl überlegte Frage von mir. Hab gerade eine Aufgabe gefunden und geschafft, bei der der Rest nicht 0 oder 1 war. Danke nochmal für alles!

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