Determinante erweiterte Koeffizientenmatrix

11.02.2014, 12:08	Duinne	Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante erweiterte Koeffizientenmatrix Meine Frage: Hallo Leute, ich habe einmal eine ganz allgemeine Frage zur Determinantenberechnung: wie berechne ich die Determinante einer erweiterten Koeffizientenmatrix? Meine Ideen: Nehmen wir eine 3x3-Matrix an. Hier kann ich det A mit der Regel von Sarrus berechnen. Aber die wie die erweiterte Matrix? Reicht es wirklich einfach, wenn man eine Spalte weglässt und dann wieder mit der Regel von Sarrus zu rechnen? Liebe Grüße Duinne
11.02.2014, 12:17	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Determinanten kann man nur von quadratischen Matrizen berechnen (Zeilenzahl=Spaltenzahl). Dies macht man auf die bekannte Weise. Eine andere Frage ist es, den Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix zu bestimmen. Der Rang ist auch für nichtquadratische Matrizen definiert. Solche Rang-Fragen tauchen in der Lösungstheorie linearer Gleichungssysteme auf.
11.02.2014, 12:22	Duinne	Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante erweiterte Koeffizientenmatrix Vielen Dank für die Antwort. Manchmal muss man doch aber det (A\|c) berechenen. Ich habe hier ein Beispiel im Papula. Da hat man einfach die erste Spalte weggelassen und damit eine dreireihige Unterdeterminante berechnet. Ich wollte dazu wissen, ob dies ausreicht oder ob man z.B. 4 Unterdeterminanten berechnen muss, in denen man jeweils die 1. bis 4. Spalte weglässt. Gruß Duinne
11.02.2014, 12:26	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante erweiterte Koeffizientenmatrix Meinst du vielleicht das hier? http://de.wikipedia.org/wiki/Cramersche_Regel tigerbine out.
11.02.2014, 13:34	Duinne	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante erweiterte Koeffizientenmatrix Nein, das meinte ich nicht. Damit berechnet man ja die Lösung eines LGS. Ich möchte ja aber die Determinante der Koeffzientenmatrix berechnen.
11.02.2014, 13:42	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante erweiterte Koeffizientenmatrix Da drin taucht aber doch genau das auf, was du beschreibst. Eine Spalte wird gegen "b" getauscht. Ehos sagte auch schon, dass es Determinanten nur für quadratische Matrizen gibt. Du müsstest uns konkreter die Stelle aus dem Papula (Kapitel, etc) zitieren, damit wir dich verstehen können.
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11.02.2014, 15:25	Duinne	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante erweiterte Koeffizientenmatrix Papula Mathematik, Band 2, 13. Auflage, Seite 86. Es wird mit Hilfe von Determinanten gezeigt, dass das LGS nicht lösbar ist. Seite 86:" Die erweiterte Koeffizientenmatrix $\begin{eqnarray} (A\|c)=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \|1 \\ -1 & -2 & 1 & \|2 \\ 1 & -1 & 5 & \|0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ besitzt dagegen den Rang Rg(A\|c)=3, da es EINE von Null verschiedene dreireihige Unterdeterminante von (A\|c) gibt, nämlich $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 2 \\ -1 & 5 & 0 \end{vmatrix}= 0-2-10+1-10-0=-21\neq 0 \end{eqnarray}$ (in (A\|c) wurde die 1. Spalte gestrichen). Somit ist Rg(A) < Rg(A\|c) und damit Rg(A) ungleich Rg(A\|c), d.h. das vorliegende (3,3)-System ist unlösbar." Man hat die 1. Spalte gestrichen. Ich verstehe schon, dass man eine Determinante nur bei quadratischen Matrizen berechnen kann. Ich kann also nicht direkt die det (A\|c) berechnen. Aber ist es hier egal, welche Spalte gestrichen wird? Was ist, wenn eine Unterdeterminante gleich 0 ist? Theoretisch wäre es doch möglich, dass wenn ich eine andere Spalte streiche, es eine von Null verschiedene Unterdeterminante gibt.
11.02.2014, 15:35	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante erweiterte Koeffizientenmatrix Das passt schon zu der Regel die ich verlinkt habe. Bei LGS haben wir 3 Möglichkeiten * keine Lösung * eindeutige Lösung * unendlich viele Lösungen Es ist i.A. nicht egal welche Spalte gestichen wird. Es könnten ja z.B. 2 Spaltenvektoren direkt linear abhängig sein (also vielfache). Im schlimmsten Fall musst du alle prüfen. Beipsiel für 2x2 Matrizen und LGS Ax =b. Ist det(A) != 0 gibt es genau eine Lösung Ist det(A) = 0 und det(A1\|b) !=0 oder det(A2\|b) !=0, dan gibt es keine Lösung. Ist det(A)=det(A1\|b)=det(A2\|b)=0, dann gibt es unendlich viele Lösungen.

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