In einer Senke

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11.02.2014, 21:07	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
In einer Senke [attach]33208[/attach] Der Querschnitt einer tiefen Senke wird begrenzt von der Randfunktion $\begin{eqnarray} f(x)=2,8 \cdot (1-e^{-x^{2}}) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} -2 \leq x \leq 2 \end{eqnarray}$ . (1 LE = 10m). a) Wie tief ist die Senke? b) An welcher Stelle ist der Hang am steilsten? Berechnen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen f an dieser Stelle. c) Am Rand bei x=2 soll ein 15 m hoher Mast mit einem Schweinwerfer an der Spitze aufgestellt werden. Erreicht das Licht des Scheinwerfers den Tiefpunkt der Senkte? Idee: Zu a) Hier habe ich mir gedacht den höchsten Punkt zu berechnen und der liegt bei $\begin{eqnarray} f(2) \end{eqnarray}$ und den tiefsten Punkt zu berechnen und der liegt bei $\begin{eqnarray} f(0) \end{eqnarray}$ . Die Differenz gibt mir die Tiefe: $\begin{eqnarray} H_{Tiefe}=f(2)-f(0)=2,748 =>27,48 \, m \end{eqnarray}$ Zu b) Hier würde ich die Funktion auf Wendepunkte untersuchen: $\begin{eqnarray} f'(x)=5,6 \cdot x \cdot e^{-x^{2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(x)=\left(5,6-11,2 \cdot x^{2}\right) \cdot e^{-x^{2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(x)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left(5,6-11,2 \cdot x^{2}\right) \cdot e^{-x^{2}}=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left(5,6-11,2 \cdot x^{2}\right)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left(x^{2}-0,5\right)=0 =>x_1=0,707107 \, \, \, \text{und} \, \, \, x_2=-0,707107 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0,707107 \cdot 10 \, m=7,071 \, m \end{eqnarray}$ Tangente: $\begin{eqnarray} t(x)=m \cdot (x-x_0)+y_0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t(x)=f'(0,7071) \cdot (x-0,7071)+f(0,7071) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t(x)=2,40174 \cdot x-0,596572 \end{eqnarray}$ zu c) Hier brauche ich einen Denkansatz Vielen Dank schonmal^^ Edit: Zu c) ist mir etwas eingefallen und zwar müsste man doch Theoretisch die Funktion auf Extrema untersuchen. Man müsste dann ein Hochpunkt bei ungefähr x=2,3 haben, dann die Höhe bestimmen f(2,3) , liegt ungefähr bei 2,6 => 26 m + 15 m = 41 m Vielleicht könnte man damit arbeiten
11.02.2014, 21:27	MatheIstLustig	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: In einer Senke Da du bereist viel selbst gerechnet hast, versuche ich es mit einem kurzen Tipp für c): Du kannst durch die Scheinwerferpitze eine Tangente an den Graphen von f bestimmen. Dann siehst du, welcher Bereich der Senke beleuchtet wird. Dazu brauchst du die Koordinaten der Scheinwerferspitze und setzt diese in die allgemeine Tangentengleichung aus b) ein. Alternativ kannst du eine Gerade durch den Ursprung und die Spitze legen und die Lage der Schnittpunkte dieser Geradenmit f bestimmen.
11.02.2014, 21:41	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
[attach]33210[/attach] Ich habe das gemacht. Kann ich schon eine Aussage darüber treffen, ob der Scheinwerfer den Tiefpunkt erreicht? Ich habe noch eine Idee: Der Tiefpunkt liegt doch bei P(0\|0). Könnte man dann eine Tangente für den Punkt P(0\|0) bestimmen, aber die Steigung von dem obigen Punkt wählen. Dann könnte man die Tangente mit f(x) gleich stellen und wenn zwei Schnittpunkte da sind, hätte ich doch bewiesen, dass es nicht geht oder? Ist mein Gedankengang korrekt?
11.02.2014, 22:03	MatheIstLustig	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn die von Dir gefundene Tangente die einzig mögliche Tangente ist, dan erreicht der Lichtstrahl den Ursprung. Deine Idee ist ganz ähnlich zu meinem zweiten Vorschlag: Betrachte den Lichtstrahl vom Scheinwerfer zu dem Ursprung. Untersuche, ob diese Gerade f schneidet.
11.02.2014, 22:13	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich überlege gerade die ganze Zeit, wie ich die Steigung bestimmen soll. An welcher Stelle muss ich quasi die Steigung bestimmen ? Edit: Gedankenblitz ! $\begin{eqnarray} P_1\left(0 \bigg{\|} 0\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P_2\left(2 \bigg{\|} 4,248\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} m_{Punkt}=\frac{(f(2)+1,5)-f(0)}{2-0} \end{eqnarray}$ Würde das funktionieren ?
11.02.2014, 22:26	MatheIstLustig	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du mit dem Ursprung und der Scheinwerferspitze als Punkte arbeitest, brauchst du keine Stelle für die Steigung. Ich habe meine Idee mal als Dokument angehängt.
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11.02.2014, 22:28	MatheIstLustig	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt hast du schneller geändert, als ich antworten konnte. Jetzt hast du die Gerade: $\begin{eqnarray} g(x) = m_{punkt} \cdot x \end{eqnarray}$ Bestimme jetzt die Schnittpunkte von g und f.
11.02.2014, 22:45	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Manchmal schalten sich irgendwie die Synapsen und ich bekomme eine neue Idee hahaha . $\begin{eqnarray} m_{Punkt}=\frac{(f(2)+1,5)-f(0)}{2-0}=2,12436 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g(x)=f(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2,12436x=2,8 \cdot (1-e^{-x^{2}}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0,7587x=1-e^{-x^{2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0,7587x-1=-e^{-x^{2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -0,7587x+1=e^{-x^{2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ln(-0,7587x+1)=-x^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^{2}-ln\left(-0,7587 \cdot (x-1,3189)\right)=0 \end{eqnarray}$ Wie muss ich weiterverfahren ?
11.02.2014, 23:13	MatheIstLustig	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Gleichung ist nur näherungsweise lösbar. Evtl habt ihr einen GTR oder CAS, der dir etwaige Näherungslösungen berechnet. Ohne CAS: Ich habe erst mal den offensichtlichen Schnittpunkt x=0 festgehalten. Dann habe ich mir einem Plot der Funktionen angeschaut und festgestellt, dass es keinen weiteren Schnittpunkt mehr gibt. Damit ist die Aufgabe gelöst, und der Scheinwerfer erreicht den Tiefpunkt der Senke.
11.02.2014, 23:21	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles Klar . Vielen Dank Gute Nacht

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