Wurzelberechnung mit Newton Verfahren

12.02.2014, 14:49

voodoo

Wurzelberechnung mit Newton Verfahren

Moin Moin!

also ich soll mittels Newton Verfahren die Wurzel berechnen. Das das ganze mit der Vorschrift:
$\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 -d \end{eqnarray*}$ funktioniert ist mir klar, denn die Nullstelle wäre die Wurzel von d.

Jetzt kommts aber: Ich soll das ganze jetzt mit einer anderen Vorschrift machen:
$\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{1}{x^2} -d \end{eqnarray*}$ und da ist ja die Nullstelle genau $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt x} \end{eqnarray*}$ .

Wie mache ich hieraus eine verfünftige Iterationsvorschrift. Beim Newton verfahren haben wir ja jeweils $\begin{eqnarray*} x_{n+1} = x_n - \frac{f(x)}{f'(x)} \end{eqnarray*}$ aber wie würde soetwas mit g(x) aussehen???

12.02.2014, 16:29

Steffen Bühler

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RE: Wurzelberechnung mit Newton Verfahren

Zitat:

Original von voodoo
$\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{1}{x^2} -d \end{eqnarray*}$ und da ist ja die Nullstelle genau $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt x} \end{eqnarray*}$ .

Du meinst $\begin{eqnarray*} \pm \frac{1}{\sqrt d} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von voodoo
Beim Newton verfahren haben wir ja jeweils $\begin{eqnarray*} x_{n+1} = x_n - \frac{f(x)}{f'(x)} \end{eqnarray*}$ aber wie würde soetwas mit g(x) aussehen???

Genauso, nur dass Du statt Erdbeeren Wildschweine nimmst:

$\begin{eqnarray*} x_{n+1} = x_n - \frac{g(x)}{g'(x)} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{1}{x^2} -d \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} g'(x) =... \end{eqnarray*}$

Jetzt?

Viele Grüße
Steffen

12.02.2014, 17:20

voodoo

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RE: Wurzelberechnung mit Newton Verfahren

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Du meinst $\begin{eqnarray*} \pm \frac{1}{\sqrt d} \end{eqnarray*}$ .

ja genau

naja $\begin{eqnarray*} g'(x) = \frac{-2}{x^3} \end{eqnarray*}$

Ich hab auch schon drüber nachgedacht, aber ich komme wenn ich das so anwende mit
$\begin{eqnarray*} x_{n+1} = x_n - \frac{g(x)}{g'(x)} \end{eqnarray*}$
dann komme ich nicht auf die wurzel :/

zum beispiel für d = 4 und ich fange für x = 2 an, dann müsste ich ja auf 0.5 kommen

naja aber dann ist x_1 = -13
x_2 = 4374,5
x_3=...

ich hab doch dann die vorschrift: $\begin{eqnarray*} x_{n+1} = x_n - \frac{\frac{1}{x_n^2}-d}{\frac{-2}{x_n^3}} \end{eqnarray*}$ oder mach ich was falsch???

12.02.2014, 17:24

riwe

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RE: Wurzelberechnung mit Newton Verfahren
und wo liegt dein Problem verwirrt

12.02.2014, 17:30

Steffen Bühler

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RE: Wurzelberechnung mit Newton Verfahren
Nein, Du machst alles richtig. Newton konvergiert eben nur, wenn der Startwert "nahe" bei der Lösung liegt.

Viele Grüße
Stdeffen

12.02.2014, 17:37

voodoo

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ahhhh ok dann ist alles klar... auf die werte komme ich auch wie in der tabelle von riwe, wenn ich mit x = 1 starte...
thx!!
umgeformt ergibt das dann: $\begin{eqnarray*} x_{n+1} = x_n + 0.5x_n - 0.5dx_n^3 \end{eqnarray*}$

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