Teilmengen der reellen Zahlen keine Gebiete?

12.02.2014, 16:09	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Teilmengen der reellen Zahlen keine Gebiete? Meine Frage: Hallo Leute, ich versuche gerade den Satz von der Gebietstreue zu verinnerliche. (Gebiet heißt ja offen + zusammenhängend) Dieser besagt ja: Ist $\begin{eqnarray} D \subset \mathbb C \end{eqnarray}$ ein Gebiet und $\begin{eqnarray} f: D \to \mathbb C \end{eqnarray}$ holomoprh. Dann ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ konstant oder $\begin{eqnarray} f(D) \end{eqnarray}$ ist auch ein Gebiet. Aus dem Satz folgert man dann: Ist $\begin{eqnarray} f(\mathbb C) \subset \mathbb R \end{eqnarray}$ dann ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ konstant. Jetzt frage ich mich warum das gilt. kann es in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ keine Gebiete geben? Wenn das Bild von f das Intervall $\begin{eqnarray} (0,1) \end{eqnarray}$ ist zum Beispiel. Dann ist doch $\begin{eqnarray} (0,1) \end{eqnarray}$ auch offen und zusammenhängend oder etwa nicht? Kann mir das jemand erklären? Meine Ideen: Danke für die HIlfe
12.02.2014, 16:11	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (0,1) \end{eqnarray}$ ist in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ offen und zusammenhängend, nicht aber in $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ .
12.02.2014, 16:25	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wenn ich von Gebiete rede, dann beziehe ich mich immer auf $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ ?? LOGISCH Blöde Frage: Zusammenhängend ist $\begin{eqnarray} (0,1) \end{eqnarray}$ auch in $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ auch, aber nicht offen stimmts?
12.02.2014, 16:51	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, der Begriff des Gebiets hat nicht unbedingt etwas mit $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ zu tun, man kann den Begriff allgemein für einen normierten Vektorraum bzw. topologischen Raum einführen. Fasst man dann $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ als normierten Vektorraum über sich selbst auf, so sind gerade die offenen Intervalle die Gebiete dieses Raums. Da der Satz von der Gebietstreue aber eine Aussage über holomorphe Funktionen $\begin{eqnarray} f: D\rightarrow\mathbb C \end{eqnarray}$ macht, betrachten wir eben Gebiete in $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ . Und $\begin{eqnarray} (0,1) \end{eqnarray}$ ist zusammenhängend in $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ , mit der Offenheit hapert es aber, ja.
12.02.2014, 17:15	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, vielen Dank, ist manchmal etwas schwierig die Funktionentheorie zu verstehen, wenn man noch kein Topo hatte. Wo doch so oft alles von einem schönen Definitionsbereich und sonst einem topologischen Begriff abhängt

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