Cape Cross Seal Colony - Exponentialfunktion

12.02.2014, 17:23

Bonheur

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Cape Cross Seal Colony - Exponentialfunktion

In Namibia gibt es einen $\begin{eqnarray*} 60 \, km^{2} \end{eqnarray*}$ großen Robbenpark mit ständig wachsendem Bestand. Im Jahr 2011 $\begin{eqnarray*} (t=1) \end{eqnarray*}$ gab es ca. 100.000 Robben. 2011 wurden 107.316 Robben gezählt. Die Sättigungsgrenze wird auf 250.000 Tiere geschätzt.

a) Wie lautet die Bestandsfunktion $\begin{eqnarray*} N(t)=a+b \cdot e^{-k\cdot t} \end{eqnarray*}$ (t in Jahren, N(t) in Tausend) ?

b) Wie viele Tiere wird es 2020 geben? Wann wird die Zahl der Tiere 150.000 erreichen?

c) Wie groß ist die momentane Wachstumsrate zu Beobachtungsbeginn? Zeigen Sie, dass sie einer jährlichen Zunahme von 7,5 % entspricht. Wann wird sie auf 5000 Tiere/Jahr abgesungen sein? Wie groß ist die mittlere Wachstumsrate zwischen 2010 und 2020?

e) Eine kleine Kolonie von 500 Robben wird von der Seehundstaupe befallen, einer gefährlichen Viruserkrankung. Pro Woche fallen 10 % des Bestandes der Staupe zum Opfer. Wann unterschreitet die Zahl der Tiere den für das Überleben der Kolonie notwendigen Mindestbestand von 100 Robben ?
Zum Glück kommt es dazu nicht. Bei einem Bestand von 200 Robben erlischt die Seuche. Wie lange dauert es, bis sich die Kolonie wieder vollständig erholt und ihren stand von 500 Robben erreicht, wenn sie weider mit 7,5 % Zuwachs pro Jahr wächst, aber nun nach dem Modell des unbegrenzten Wachstums ?

Ideen:

Hier habe ich noch Probleme, weil ich mich kaum mit Exponentialfunktionen auseinander gesetzt habe unglücklich

unglücklich

.

zu a) Da sich bei t=1, 107.316 Robben befinden, würde ich daraus einen Ansatz starten:

Ansatz: $\begin{eqnarray*} 107.316=a+b \cdot e^{-k\cdot 1} \end{eqnarray*}$

Allerdings habe ich trotzdem noch drei Variablen, welche Unbekannt sind unglücklich

unglücklich

.

Die anderen Aufgaben kann ich nicht lösen, weil ich erst die Funktion aufstellen muss.

Ich hoffe, dass mir jemand dabei helfen kann.

Vielen Dank

12.02.2014, 17:40

Gast11022013

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RE: Cape Cross Seal Colony

Zitat:

Original von Bonheur
Im Jahr 2011 $\begin{eqnarray*} (t=1) \end{eqnarray*}$ gab es ca. 100.000 Robben. 2011 wurden 107.316 Robben gezählt. Die Sättigungsgrenze wird auf 250.000 Tiere geschätzt.

Hier passt irgendwas mit der Aufgabenstellung nicht.
2011 sind es 100.000 Robben und dann sind es im selben Jahr auf einmal 7.316 mehr.
Sind vielleicht eher 2010 und 2011 gemeint?

Überlege dir auch wie du die Angabe über die Sättigungsmenge verarbeiten kannst.

Dann hast du eine Gleichung mit zwei Variablen und kannst aus den obigen Angaben zwei Gleichungen aufstellen. Jetzt gilt es dieses Gleichungssystem zu lösen.

12.02.2014, 17:42

Stefan03

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RE: Cape Cross Seal Colony

Zitat:

Original von Bonheur
Im Jahr 2011 $\begin{eqnarray*} (t=1) \end{eqnarray*}$ gab es ca. 100.000 Robben. 2011 wurden 107.316 Robben gezählt.

Hi,
einmal müsste dort eine andere Jahreszahl stehen, oder?

12.02.2014, 17:48

Bonheur

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RE: Cape Cross Seal Colony

Zitat:

Original von Gmasterflash

Hier passt irgendwas mit der Aufgabenstellung nicht.
2011 sind es 100.000 Robben und dann sind es im selben Jahr auf einmal 7.316 mehr.
Sind vielleicht eher 2010 und 2011 gemeint?

Ich weiß nicht. Ich habe nochmal nachgesehen, aber habe keinen Fehler bei der Formulierung der Aufgabe gemacht. verwirrt

verwirrt

Ich vermute einfach, dass die Robben im Jahr 2011 im ersten Satz quasi geschätzt werden und im nächsten Satz quasi ein exakter Wert genannt wird.

Zur Aufgabe: Ich kann mich noch daran erinnern, dass die Sättigungsgrenze immer an vorderster Stelle stand.
Sprich: $\begin{eqnarray*} 250000-\left(b \cdot e^{-k \cdot 1}\right)=107316 \end{eqnarray*}$

So hier ?

12.02.2014, 17:52

Gast11022013

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Das mit der Sättigungsgrenze wäre richtig.

$\begin{eqnarray*} N(t)=250.000+be^{-kt} \end{eqnarray*}$

Die Aufgabenstellung kann so nicht richtig sein, denn wir benötigen 2 Gleichungen um das entstehende Gleichungssystem zu lösen. So gibt der Aufgabentext nur eine her und die Aufgabe könnte nicht bearbeitet werden.

12.02.2014, 17:56

Bonheur

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Oui

smile

.

Wenn wir davon ausgehen, dass es im Jahr 2010 also demnach bei t=0 100000 Robben gab, dann könnte man wieder eine Gleichung aufstellen.

$\begin{eqnarray*} 100.000=250.000+b \end{eqnarray*}$

oder?

Ich habe bloß eine Frage. Wieso addiert man die Sättigungsgrenze mit dem Rest ?

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12.02.2014, 18:05

Gast11022013

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Du hattest es oben subtrahiert. In der Aufgabenstellung wurde es jedoch als Addition geschrieben.
Für b wird man wohl einen negativen Wert erhalten. Wenn wir nun subtrahieren würden, dann würde ja aus Minus Minus wieder Plus werden. Und dann würden wir wiederum die Sättigungsgrenze überschreiten.

12.02.2014, 18:12

Bonheur

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Verstehe.

$\begin{eqnarray*} 100.000=250.000+b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=-150.000 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 107.316=250.000+150.000 \cdot e^{-k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -142.684=150.000 \cdot e^{-k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -0,951227=e^{-k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(-0,951227)=-k \cdot ln(e) \end{eqnarray*}$

Stimmt es bis hierher ?

12.02.2014, 18:14

Gast11022013

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Nein. Hier hast du eben diesen Fehler gemacht. b=-150.000
Stammt dieser Zusatz

Zitat:

(t in Jahren, N(t) in Tausend)

eigentlich von dir, oder ist es auch so schon in der Aufgabenstellung?

$\begin{eqnarray*} 100.000=250.000-150.000e^{-k} \end{eqnarray*}$

Denn der Logarithmus ist für negative Werte ja überhaupt nicht definiert.

12.02.2014, 18:18

Bonheur

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Der Zusatz stammt von der Aufgabenstellung.

Wie muss ich da weiterverfahren ? verwirrt

verwirrt

12.02.2014, 18:20

Gast11022013

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Okay, dann können wir mit a=250 und b=-150 rechnen.

Du verfährst so wie du es bereits getan hast nur ohne dem Vorzeichenfehler.
Löse also die Gleichung

$\begin{eqnarray*} 250-150e^{-k}=107,316 \end{eqnarray*}$

Nach k auf.

12.02.2014, 18:26

Bonheur

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Also, man muss deshalb subtrahieren, denn wenn man addiert, überschreitet man die Sättigungsgrenze oder?

$\begin{eqnarray*} 250-150e^{-k}=107,316 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -150 \cdot e^{-k}=-142,684 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{-k}=0,951227 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -k=ln(0,951227) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -k=-0,050003 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k=0,050003 \end{eqnarray*}$

so hier?

12.02.2014, 18:30

Gast11022013

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Ich habe derzeit zwar keinen TR zur Hand, aber ich traue dir zu es dort richtig eingeben zu haben.
Das Ergebnis ist auch sehr schön. Im weiteren Verlauf kannst du wohl ruhig mit k=0.05 rechnen.

Man muss subtrahieren weil es der obige Ansatz so will.

$\begin{eqnarray*} N(t)=a+be^{-kt} \end{eqnarray*}$

Nun ist b negativ, also

$\begin{eqnarray*} N(t)=a+(-150)e^{-kt} \end{eqnarray*}$

insgesamt wird also einfach subtrahiert.
Man hält sich dabei also einfach an die Aufgabenstellung.

$\begin{eqnarray*} N(t)=250-150e^{-0.05t} \end{eqnarray*}$

Die anderen Aufgaben kriegst du alleine hin?

12.02.2014, 18:40

Bonheur

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b) und c) bekomme ich hin smile

smile

.

e) ist bissel schwieriger.
Hättest du vielleicht einen Denkansatz ?

12.02.2014, 18:44

Gast11022013

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e) Ist eine zwei in eins Aufgabe.

Zu erst bestimme eine Funktionsgleichung die beschreibt, dass wir 10% Robben verlieren.
Danach eine das wir 7.5% Robben dazu gewinnen. Beide Gleichungen kann man nach dem selben Prinzip aufstellen. Erinnere dich auch gerne zurück an die Themen über Zinseszins.
Wenn du die Gleichungen hast, dann sollte der Rest kein Problem sein.

12.02.2014, 18:47

Bonheur

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$\begin{eqnarray*} \frac{250}{100%}=\frac{x}{107,5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{250}{100%}=\frac{x}{90%} \end{eqnarray*}$

So hier ?

12.02.2014, 18:50

Gast11022013

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Es geht hier ja ebenfalls um exponentielles Wachstum.

Beachte auch, dass du für beide Gleichungen jeweils einen anderen Anfangsbestand hast.

12.02.2014, 18:54

Bonheur

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Muss man den ersten Anfangsbestand mit 500 subtrahieren und den zweiten mit 200 ?

12.02.2014, 18:56

Gast11022013

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Bei der ersten Gleichung ist der Anfangsbestand 500 und bei der zweiten ist der Anfangsbestand 200.

12.02.2014, 19:06

Bonheur

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Jetzt habe ich es verstanden. Habe mir nochmal die Aufgabe durchgelesen und jede einzelne Information angesehen. Nun wird quasi eine neuer Anfangsbestand gegeben. Ich habe dann Theoretisch zwei Exponential Funktionen und muss dann einfach wie in der ersten Aufgabe die Funktion aufstellen.

$\begin{eqnarray*} \frac{500}{100%}=\frac{x}{90%}=> x=450 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 450=250 + e^{-k} \end{eqnarray*}$

Bitte stimmt dieser Ansatz ^^

12.02.2014, 19:09

Gast11022013

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Nein.
Du denkst glaube ich ein wenig zu kompliziert.

Die Gleichungen haben hinterher so eine Form:

$\begin{eqnarray*} f(x)=a\cdot q^x \end{eqnarray*}$

Wobei a der Anfangsbestand ist und q der Wachstumsfaktor.
Anfangsbestand sowie Wachstumsfaktor sind eigentlich bereits in der Aufgabenstellung gegeben.

12.02.2014, 19:16

Bonheur

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$\begin{eqnarray*} f(x)=a\cdot q^x \end{eqnarray*}$

Demnach ist a= 500 und $\begin{eqnarray*} \frac{1-10}{100}=q \end{eqnarray*}$

oder?

12.02.2014, 19:32

Gast11022013

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q=0.9

Der Bestand verringert sich jeweils um 10%.

12.02.2014, 20:09

Bonheur

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Ok habe alles gelöst smile

smile

Vielen Dank

Wink

Wink

12.02.2014, 20:11

Gast11022013

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Gern geschehen.

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