Nick und die Tomatensuppe - Exponentialfunktion

12.02.2014, 21:09	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Nick und die Tomatensuppe - Exponentialfunktion Nick kocht eine Tomatensuppe auf 100°C auf. Die Umgebungstemperatur ist 20°C. Nun soll die Suppe bis auf 50°C abgekühlt werden. Nach einer Minute ist die Temperatur bereits auf 93°C gesunken. a) Stellen Sie die Temperaturgleichung T(t) auf (t in min, T in °C). b) Wann sie die gewünschten 50°C erreicht? Wie schnell sinkt die Temperatur in diesem Moment? c) Peter nimmt die Suppe verspätet vom Herd, als sie bereits auf 40°C abgekühlt ist. Wie groß ist seine Verspätung ? Idee: Ansatz: $\begin{eqnarray} T(t)=T_u+c \cdot e^{-k \cdot t} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T(0)=20+c=100 =>c=80 \end{eqnarray}$ Stimmt es bis hierhin? Wie berechne ich k? $\begin{eqnarray} T(t)=20 + 80 \cdot e^{-k \cdot t} \end{eqnarray}$
12.02.2014, 21:10	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nick und die Tomatensuppe Guten Abend, setze T(1) = 93° ein. Löse nach k auf.
12.02.2014, 21:15	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Abend $\begin{eqnarray} T(t)=20 + 80 \cdot e^{-k \cdot t} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 93=20+80 \cdot e^{-k} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{73}{80}=e^{-k} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ln\left(\frac{73}{80}\right)=-k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0,091567=k \end{eqnarray}$ Gleichung: $\begin{eqnarray} T(t)=20 + 80 \cdot e^{-0,091567 \cdot t} \end{eqnarray}$ So hier? Und zu b) Ansatz: $\begin{eqnarray} 50=20 + 80 \cdot e^{-0,091567 \cdot t} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T'(t_{\text{Welches wir berechnen}})=m \end{eqnarray}$ oder?
12.02.2014, 21:18	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr gut! Dein k ist richtig zu b) Du musst natürlich erst einmal den Zeitpunkt t bestimmen, bei dem die Temperatur 50° beträgt. Die Änderungsgeschwindigkeit über die Ableitung zu bestimmen ist vollkommen richtig.
12.02.2014, 21:24	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar )) Nur noch zu c) $\begin{eqnarray} 50=20 + 80 \cdot e^{-0,091567 \cdot t} =>t_1=10,7116 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 40=20 + 80 \cdot e^{-0,091567 \cdot t} => t_2=15,1397 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T_{Verspaetung}=t_2-t_1=15,1397-10,7116=4,4281 \end{eqnarray}$ Also 4,4281 Minuten oder?
12.02.2014, 21:30	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
Prima! Es fehlt jetzt nur noch die Abkühlungsgeschwindigkeit bei $\begin{eqnarray} \displaystyle t_1 \end{eqnarray}$
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12.02.2014, 21:39	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} T(t)=20 + 80 \cdot e^{-0,091567 \cdot t} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T'(t)=80 \cdot \left(-0,091567 \cdot e^{-0,091567 \cdot t}\right)=-7,32536 \cdot e^{-0,091567 \cdot t} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T'(10,7116)=-2,74701 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -2,74701 \, \, \frac{\text{Temperatur}}{\text{min}} \end{eqnarray}$ So ?
12.02.2014, 21:41	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
Perfekt! ... und guten Appetit! EDIT: Das wars für heute für mich! Bis zum nächsten Mal
12.02.2014, 21:44	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Hahahahahahahaha. Ich esse gerade wirklich Suppe. Vielen Dank Und ich wünsche dir noch eine schöne Nacht Gute Nacht

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