Isomorphie und Ordnung von Galois-Gruppen

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Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphie und Ordnung von Galois-Gruppen
Guten Abend Wink

ich habe ein Verständnisproblem bzgl der Galois-Gruppen und dazu isomorphen Gruppen.

Satz:
Die Ordnung der Galoisgruppe stimmt mit dem Erweiterungsgrad überein.

Satz:
Die Galois-Gruppe eines Polynoms f kann als Permutationsgruppe auf den Nullstellen aufgefasst werden.

Was beudeutet das für das folgende Polynom?
I) So habe ich zum Beispiel das Polynom mit 4 Nullstellen. Der Erweiterungsgrad [L/K] = 8.
Heißt das die Galoisgruppe hat auch die Ordnung 8?
Heißt das, dass ich die Nullstellen auch als auffassen kann? Die verschiedenen Automorphismen kann ich noch alle bestimmen, das sind 8 an der Zahl. Doch eine mögliche Isomorphie kann ich daraus nicht herleiten.

Die Lösung hier zu ist .

II) Bei einem weiteren Beispiel habe ich das Polynom . Ich habe 15 Nullstellen (kann ich sie also als Permutation in der auffassen?) und der Erweiterungsgrad [L/K]=15. Die zugehörige Galois-Gruppe hat aber nur die Ordnung 8. Wo ist hier mein Fehler?! Denn nach dem Satz oben, müssten ja die Körpererweiterung und der Grad der Galois-Gruppe übereinstimmen verwirrt
Hier ist die Gruppe isomorph zur .

Wie funktioniert das ganze also? An der Stelle habe ich noch keinen Durchblick. Kann mir da jemand helfen? Vielen Dank! smile
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:
Satz: Die Ordnung der Galoisgruppe stimmt mit dem Erweiterungsgrad überein.

Das ist kein Satz. Das ist die Definition einer endlichen Galoiserweiterung.

Zitat:
Was beudeutet das für das folgende Polynom? I) So habe ich zum Beispiel das Polynom mit 4 Nullstellen. Der Erweiterungsgrad [L/K] = 8. Heißt das die Galoisgruppe hat auch die Ordnung 8?

Ist L der Zerfällungskörper von f, so ist L/K galoissch und damit [L:K]=Gal(L/K)=8.

Zitat:
Heißt das, dass ich die Nullstellen auch als auffassen kann?

Nein. Bilden denn die Nullstellen eine Galoisgruppe?

Zitat:
Die Galois-Gruppe eines Polynoms f kann als Permutationsgruppe auf den Nullstellen aufgefasst werden.

Die Elemente der Galoisgruppe, also die Automorphismen, sind eindeutig bestimmt durch die Bilder der Nullstellen. Genauer gesagt: Die Elemente der Galoisgruppe permutieren die Nullstellen. Damit kann man die Elemente der Galoisgruppe der Körpererweiterung als Permutationen der n Nullstellen auffassen.

Und damit kann man jede Galoisgruppe mit einer Untergruppe der Symmetrischen Gruppe von deg(f)-Elementen aufgefasst werden.



Zitat:
Ich habe 15 Nullstellen (kann ich sie also als Permutation in der auffassen?)

ja
Zitat:
und der Erweiterungsgrad [L/K]=15.

nein. Dein Polynom ist reduzibel.
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Captain Kirk,

Danke für deine schnelle Antwort Freude
Du warst aber etwas schneller, ich wollte noch etwas editieren bzw eine Frage anfügen. Und zwar welche Rolle spielt das Minimalpolynom bei der Galois-Gruppe?

Idee: Der Grad des Minimalpolynoms ist (Gal (L/K)), sprich der Grad des Minimalpolynoms ist gleich der Ordnung der Galois-Gruppe?

So stimmt in dem von mir genannten Beispiel I) die Ordnung mit dem Grad des Polynoms überein, da es bereits das Minimalpoolynom ist.

Für Beispiel II) ist das Minimalpolynom das 15te Kreisteilungspolynom mit dem Grad 8, somit hat die Galoisgruppe die Ordnung 8. Stimmt die Begrundung ? Oder bin ich hier falsch? Lesen1
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Minimalpolynome sind ein Hilfsmittel um den Erweiterungsgrad zu berechnen.

Es gibt aber kein Minimalpolynom einer Körpererweiterung, "nur" ein Minimalpolynom eines Elements des größeren Körpers. Wenn a ein primitives Element der Körpererweiterung ist also L=K(a), so gilt [K:L]=deg(f), wobei f das Minimalpolynom von a über K ist (das über K ist wichtig, z.B. ist das Min.pol über L: X-a)
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Zitat
Es gibt aber kein Minimalpolynom einer Körpererweiterung, "nur" ein Minimalpolynom eines Elements des größeren Körpers.


Verdammt, das vergesse ich immer wieder.

OK, allerdings bin ich jetzt etwas verwirrt. Bevor ich dieses Thema eröffnet habe, war ich der Meinung, dass die Ordnung der Galois-Gruppe gleich dem Grad des Zerfällungskörpers ist, das stimmt auch soweit?

Ach, jetzt sehe ich es auch, ich habe ja eine reelle Nullstelle und 14 komplexe Nullstellen. Wovon jeweils 2 konjugiert zueinander sind. Macht also einen Erweiterungsgrad von 8. Hammer

Nun noch eine abschließende Frage, was ist der Vorteil der Ringteilungspolynome bzgl der Galois-Gruppe? Wofür ist das gut oder wie erhalte ich nun meine Galois-Gruppe ?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
OK, allerdings bin ich jetzt etwas verwirrt. Bevor ich dieses Thema eröffnet habe, war ich der Meinung, dass die Ordnung der Galois-Gruppe gleich dem Grad des Zerfällungskörpers ist, das stimmt auch soweit?

Die Aussage ist wohl richtig gemeint aber so extrem unpräzise formuliert, dass es mich nicht wundert, dass du Verständnisschwierigkeiten hast.
Der Zerfällungskörper hat keinen Grad, die Körpererweiterung hat einen Grad.
Und die Ordnung welcher Galois-Gruppe? (ja das ist aus dem Kontext relativ klar, aber auch nur relativ).

Zitat:
Ach, jetzt sehe ich es auch, ich habe ja eine reelle Nullstelle und 14 komplexe Nullstellen. Wovon jeweils 2 konjugiert zueinander sind. Macht also einen Erweiterungsgrad von 8. Hammer

Ich sehe hier keinerlei Zusammenhang zwischen den Satzteilen.

Zitat:
Nun noch eine abschließende Frage, was ist der Vorteil der Ringteilungspolynome bzgl der Galois-Gruppe? Wofür ist das gut oder wie erhalte ich nun meine Galois-Gruppe ?

Meinst du Kreisteilungspolynome?
Der Vorteil: Die entsprechenden Galoisgruppen sind zyklisch, also das einfachste was passieren kann.
 
 
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Captain Kirk
Zitat:
Ach, jetzt sehe ich es auch, ich habe ja eine reelle Nullstelle und 14 komplexe Nullstellen. Wovon jeweils 2 konjugiert zueinander sind. Macht also einen Erweiterungsgrad von 8. Hammer

Ich sehe hier keinerlei Zusammenhang zwischen den Satzteilen.


Das war auch meinerseits irgendwie nicht durchdacht.
Mhh... gibt es dann einen Trick, wie ich schnell den Grad der Körpererweiterung (aus Beispiel II) ) berechnen kann?

Ich habe die Nullstellen sowie für k = 1,...,14
So daraus möchte ich nun gerne den Zerfällungskörper basteln. Dafür adjungiere ich , sodass ich erhalte.
Ich kann nicht erkennen, dass ich da bereits doppelte Elemente habe bzw lineare Abhängigkeit, das ist auch der Grund, weshalb ich die ganze Zeit den Erweiterungsgrad 15 erhalte. Woher weiss ich nun welche ich noch rausschmeissen muss? verwirrt

Ist das Stichwort primitive Einheitswurzeln? Denn scheinbar sind die phi(15) = {1,2,4,7,8,11,13,14} in der Basis des Erweiterungskörpers geblieben, das kann ich aber auch wieder nur der Lösung entnehmen.
Mache ich das so, dann würde ich den Erweiterungskörper so schreiben:
das scheint ja aber auch noch nicht korrekt zu sein, da ich nun den Grad 9 habe verwirrt


Zitat:
Original von Captain Kirk
Die Aussage ist wohl richtig gemeint aber so extrem unpräzise formuliert, dass es mich nicht wundert, dass du Verständnisschwierigkeiten hast. Der Zerfällungskörper hat keinen Grad, die Körpererweiterung hat einen Grad. Und die Ordnung welcher Galois-Gruppe? (ja das ist aus dem Kontext relativ klar, aber auch nur relativ).


Also die Galois-Gruppe, kenne ich natürlich noch nicht. Aber in meiner Lösung steht,
[L/K]=8 --> |Gal (L/K)|=8 , deshalb dachte ich, dass die Ordnung (falls das Ordnung heißt) der Galois-Gruppe 8 ist. Das ist übrigens aus dem 15ten Kreisteilungspolynom geschlossen worden, da es das Minimalpolynom der adjungierten Nullstelle ist. (Zur Ordnung der Galois-Gruppe finde ich nichts in meinem Skript, deshalb Frage ich das an dieser Stelle.)

Zitat:
Original von Captain Kirk
Der Vorteil: Die entsprechenden Galoisgruppen sind zyklisch, also das einfachste was passieren kann.


Das heißt also die Galois-Gruppe des Polynoms ist isomorph zu ? verstehe ich das richtig? Oder verstehe ich das falsch?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal eine Korrektur:
Zitat:
Die entsprechenden Galoisgruppen sind zyklisch

Ist natürlich Blödsinn. Die Galoiserweiterungen sind nicht notwendig zyklisch, aber abelsch und die Struktur der Galoisgruppe ist bekannt, nämlich


Zitat:
phi(15) = {1,2,4,7,8,11,13,14}

verwirrt Was soll das sein? Die eulersche-Phi-Funktion bildet in die natürlichen zahlen ab, nicht in deren potenzmenge.

Zitat:
erhalte. Ich kann nicht erkennen, dass ich da bereits doppelte Elemente habe bzw lineare Abhängigkeit,

alle Koeffizienten 1 liefert eine lineare Abhängigkeitsgleichung.

Zitat:
das scheint ja aber auch noch nicht korrekt zu sein, da ich nun den Grad 9 hab

Punkt 1: ( und { sind ein Riesenunterschied. Letzteres in TeX mit \{
Punkt 2: Die Darstellung ist völlig korrekt. In dieser Darstellung wird ein Vektorraum-Erzeugendensystem angegegeben -nicht mehr, nicht weniger.
Punkt 3: Wieso fügst du überhaupt die 1 mit ein ?

Bitte nimm dir nochmal dein Skript und ein Buch und lies dir das Kapitel zu Kreisteilungspolynomen/körpern durch.
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

Mhhhh... vllt habe ich einfach zu viele Fragen auf einmal gestellt. Ich fange einfach nochmal von vorne an.

Also: Ich habe das Polynom und möchte nun zuerst den Zerfällungskörper und dann die Galois-Gruppe bestimmen.

Zuerst die Nullstellen:

für k = 1,...,14

So nun möchte ich gerne den Zerfällungskörper bestimmen:
Ich adjungiere , sodass ich erhalte.

Mithilfe der Kreisteilungspolynome versuche ich das Minimalpolynom zu zu bestimmen.



Durch einsetzen von kann ich (15tes Kreisteilungspolynom) als Minimalpolynom identifizieren.

Wegen
Zitat:
Es gibt aber kein Minimalpolynom einer Körpererweiterung, "nur" ein Minimalpolynom eines Elements des größeren Körpers. Wenn a ein primitives Element der Körpererweiterung ist also L=K(a), so gilt [K:L]=deg(f), wobei f das Minimalpolynom von a über K ist (das über K ist wichtig, z.B. ist das Min.pol über L: X-a)


ist [L/K]=8 und daher [L/K]=|Gal(L/K)|=8.

Mit der Eulerschen-Phi-Funktion lässt sich nun die Anzahl der primitiven 15ten- Einheitswurzeln bestimmen, das sind 8 an der Zahl und zwar alle k = 1,2,4,7,8,11,13,14 und nach Definition sind diese auch Nullstellen von .

Bis hierhin ist fast alles klar. Nur, jetzt würde ich gerne wissen wie der Zerfällungskörper in der Schreibweise aussieht (oder ist er bei den Kreispolynomen überflüssig? Bz). Denn der müsste ja den Erweiterungsgrad 8 haben oder verwirrt Oben habe ich ja bereits eine schreibweise angegeben, wie ich es machen würde, du hast aber bemängelt, dass ich das "a" (das meintest du mit der 1?) mit reingeschrieben habe.

Und wofür benötige ich nun die Primitiven Einheitswurzeln bzw warum benötige ich die anderen Nullstellen k=3,5,6,9,10,12 nun nicht mehr?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Bis hierhin ist fast alles klar.

Gut. So ist es auch gut aufgeschrieben.

Zitat:
Nur, jetzt würde ich gerne wissen wie der Zerfällungskörper in der Schreibweise aussieht

Wieso willst du das wissen?
Was willst du damit eigentlich genau wissen?
Ich vermute mal, du würdest gern eine Basis von als -Vektorraum wissen.
Das geht am aller einfachsten übers Min.pol.
Ist f das Min.pol. von a so ist
(dabei wird a auf X abgebildet) und letzeres hat, für n=deg(f), als Basis. Es gibt aber durchaus noch andere Basen, ist halt schlicht Lineare Algebra.
Alternativ natürlich auch alle primitiven 15ten Einheitswurzeln. (sie sind ein minimales Erzeugendensystem)

Zitat:
Und wofür benötige ich nun die Primitiven Einheitswurzeln bzw warum benötige ich die anderen Nullstellen k=3,5,6,9,10,12 nun nicht mehr?

Die n-ten Wurzeln bilden eine zyklische Gruppe (mit Multiplikation).
Die primitiven EW sind die Erzeuger der Gruppe.
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Captain Wink

Ich hatte das Thema hier schon fast vergessen aber schön dass du nochmal antwortest Freude

Zitat:
Original von Captain Kirk
Ist f das Min.pol. von a so ist (dabei wird a auf X abgebildet) und letzeres hat, für n=deg(f), als Basis. Es gibt aber durchaus noch andere Basen, ist halt schlicht Lineare Algebra. Alternativ natürlich auch alle primitiven 15ten Einheitswurzeln. (sie sind ein minimales Erzeugendensystem)


Mal gucken ob ich das verstanden habe. Das heißt die Basis bilden die Nullstellen des Minimalpolynoms?

Oder:
Alternativ kann ich auch die Primitven Einheitswurzeln in die Basis zu schreiben?


Dann noch eine Frage:
Für Kreispolynome, gehe ich immer so vor, wie ich es getan habe?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das heißt die Basis bilden die Nullstellen des Minimalpolynoms?

Nun und wie geschrieben gibt es nicht "die" Basis.

Zitat:
Alternativ kann ich auch die Primitven Einheitswurzeln in die Basis zu schreiben?

Wie geschrieben bilden die primitiven EW ein minimales Erzeugendensystem, also eine Basis. Was bedeutet eigentlich "in die Basis schreiben".

Zitat:
Für Kreispolynome, gehe ich immer so vor, wie ich es getan habe?

Im wesentlichen ja. Und die heißen Kreisteilungspolynome.

Gewöhne dir bitte eine präzisere Sprache an, d.h. Verwendung exkter Begriffe und Sprechweisen . Ohne wirst du massive Probleme beim Verständnis kriegen bzw. diese nicht überwinden können.
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