Grenzwert Folge mit L'Hospital

13.02.2014, 13:51

hitrix

Grenzwert Folge mit L'Hospital

Hallo zusammen,

ich bearbeite mal wieder eine Aufgabe und würde mich über ein paar Anregungen von euch freuen.

Ich soll den Grenzwert der nachstehenden Folge berechnen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{ln x}{(1-x)^2} \end{eqnarray*}$

Da jeweils $\begin{eqnarray*} ln x \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (1-x)^2 \end{eqnarray*}$ auch gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ konvergieren, kann ich die Regel von L'Hospital anwenden.

Daraus folgt dann:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{1}{-2x(1-x)} \end{eqnarray*}$

Was kann ich heraus nun schließen? Eigentlich konvergiert ja der Nenner für x -> 1 gegen 0 oder?

Vielen Dank an euch vorab für die Mühen Augenzwinkern

13.02.2014, 14:31

klarsoweit

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RE: Grenzwert Folge mit L'Hospital

Zitat:

Original von hitrix
Ich soll den Grenzwert der nachstehenden Folge berechnen:

Nun ja, ich sehe keine Folge.

Zitat:

Original von hitrix
Was kann ich heraus nun schließen? Eigentlich konvergiert ja der Nenner für x -> 1 gegen 0 oder?

Und damit hast du einen uneigentlichen Grenzwert. smile

13.02.2014, 14:37

hitrix

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Das würde doch heißen der Grenzwert wäre 0. Die Lösung gibt unendlich als Grenzwert an?

13.02.2014, 14:51

HAL 9000

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Im Nenner Null, nicht als Gesamtgrenzwert! unglücklich

Im übrigen verhält sich aufgrund von

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x-1} = 1 \end{eqnarray*}$

der Term $\begin{eqnarray*} \frac{\ln x}{(1-x)^2} = \frac{\ln x}{x-1}\cdot \frac{1}{x-1} \end{eqnarray*}$ in der Umgebung von $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ asymptotisch genauso wie $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x-1} \end{eqnarray*}$ :

D.h., der (uneigentliche) Grenzwert ist auch nicht $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ , sondern man muss links- und rechtsseitiges Verhalten unterscheiden, es ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \searrow 1} \frac{\ln x}{(1-x)^2} = \infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \nearrow 1} \frac{\ln x}{(1-x)^2} = -\infty \end{eqnarray*}$

eben genauso wie bei der einfachen Polstelle $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x-1} \end{eqnarray*}$ .

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