Martingale Poisson Prozess- Lösung nachvollziehen

13.02.2014, 17:14	hilfebitte	Auf diesen Beitrag antworten »
Martingale Poisson Prozess- Lösung nachvollziehen Hallo, ich benötige Hilfe um die Lösung nachzuvollziehen. Einiges erschließt sich mir leider nicht. Erst einmal die Aufgabe: X_t sei der Poisson-Porzess mit Intensität $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ . Zeige: $\begin{eqnarray} X_t - \lambda_t \end{eqnarray}$ ist ein Martingal. Lösung $\begin{eqnarray} Z_t := X_t- \lambda_t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E(Z_t\|F_s)=Z_s \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E(Z_t\|F_s)=E(Z_t-Z_s+Z_s\|F_s) \end{eqnarray}$ (warum -Z_s+Z_s ?) $\begin{eqnarray} =E(Z_t-Z_s\|F_s)+Z_s \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =E(Z_t-Z_s)+Z_s \end{eqnarray}$ ab hier jetzt verstehe ich nichts mehr $\begin{eqnarray} =\sum\limits_{k=0}^\infty \lambda^k \frac{(t-s)^k}{k!} e^{-\lambda(ts)}k- \lambda(ts)+ Z_s \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{\lambda^{k-1}(t-s)^{k-1}}{(k-1)!} e^{-\lambda{(t-s)}} \lambda(t-s)-\lambda (t-s)+Z_s \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \lambda(t-s)-\lambda (t-s)+Z_s \end{eqnarray}$ (ok, weil der Ausdruck Summe etc 1 ergibt) Ich bin ratlos und würde mich über hilfe sehr freuen.... Der Poisson Prozess ist definiert als: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(\lambda_t)^k}{k!} e^{-\lambda_t} <br /> \end{eqnarray*}$
26.02.2014, 18:04	360°	Auf diesen Beitrag antworten »
Da weiß man ja gar nicht, wo man anfangen soll Es soll wohl gezeigt werden, dass $\begin{eqnarray} X_t-\lambda t \end{eqnarray}$ ein Martingal ist. In der zweiten Zeile wurde einfach eine 0 addiert, weil das für die weitere Rechnung nützlich ist. Weiter wird verwendet, dass $\begin{eqnarray} Z_t-Z_s=X_t-\lambda t-(X_s-\lambda s)=(X_t-X_s)-\lambda (t-s) \end{eqnarray}$ nach Definttion gilt und die Linearität des Erwartungswertes wird ausgenutzt. Schließlich weiß man, weil $\begin{eqnarray} X_t \end{eqnarray}$ HPP, dass $\begin{eqnarray} X_t-X_s \end{eqnarray}$ poissonverteilt ist mit Parameter $\begin{eqnarray} \lambda (t-s) \end{eqnarray}$ .

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