Limes einer Wurzel

13.02.2014, 17:42	LuYuwang	Auf diesen Beitrag antworten »
Limes einer Wurzel Meine Frage: Hallo, ich habe ein kleines Problem damit den Grenzwert folgender Wurzelfunktion zu berechnen: $\begin{eqnarray} f(x) = x - \sqrt{x^{2} + 2x} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } (x - \sqrt{x^{2} + 2x} )= \lim_{x \to \infty } (x - x \sqrt{1 + 2/x} ) \end{eqnarray*}$ Meiner Aufassung nach wäre das nun x - x = 0, allerdings wird die Wurzel nicht tatsächlich 1 und die Funktion nähert sich -1, ich weiß allerdings nicht wie man das mathematisch beweisen soll. Liebe Grüße
13.02.2014, 17:50	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Nutze die Hilfe der dritten binomischen Formel (erweitern) .
13.02.2014, 18:22	LuYuwang	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{(x^{2} - \sqrt{x^{2} + 2x}) (x^{2} + \sqrt{x^{2} + 2x})}{x^{2} + \sqrt{x^{2} + 2x}} <br /> = \frac{x^{2} - (x^{2} + 2x)}{x + \sqrt{x^{2} + 2x}}<br /> = \frac{-2x}{x + x * \sqrt{1 + \frac{2}{x}}} = \frac{-2}{1 + \sqrt{1 + \frac{2}{x}}} = -1 \end{eqnarray*}$ Vielen Dank! (: Woran soll ich aber sehen, in welchem Fall was nötig ist? Immer wenn die Wurzel mit einem x multipliziert wird, sollte ich einen anderen Weg gehen?
13.02.2014, 18:38	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
In der ersten Zeile sind dir Quadrate reingerutscht, die da nicht hingehören. Sonst aber passts . Den Limes natürlich nicht vergessen überall hinzuschreiben! Hmm, wenn du eine Summe hast, wo ne Wurzel dabei ist, würde ich spontan den Binomi versuchen. Ansonsten auch an die Umformung $\begin{eqnarray} a = e^{\ln(a)} \end{eqnarray}$ denken. Das kann man auch oft verwenden.

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