Lösung sin(z) = 3i

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14.02.2014, 14:32	simgeis	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung sin(z) = 3i Meine Frage: Hallo, ich komme nicht weiter bei der Gleichung $\begin{eqnarray} \sin(z) = 3\mathrm{i} \end{eqnarray}$ Ich würde mich freuen, wenn ihr mir helfen könntet. Mfg simgeis Meine Ideen: sinus ausschreiben im Komplexen und $\begin{eqnarray} e^{iz} \end{eqnarray}$ substituieren mit u. Dabei kommt aber eine sehr unangenehme quadratische Gleichung raus... $\begin{eqnarray} u^2 + 6u -1 = 0 \end{eqnarray}$
15.02.2014, 09:39	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist richtig. Nur nicht aufgeben ... Alternativ kannst du $\begin{eqnarray} z = x + \operatorname{i}y \end{eqnarray}$ in Real- und Imaginärteil zerlegen. Dann folgt: $\begin{eqnarray} \sin(z) = \sin(x) \cdot \cosh(y) + \operatorname{i} \cdot \cos(x) \cdot \sinh(y) \end{eqnarray}$ Du hast daher das Gleichungssystem $\begin{eqnarray} \sin(x) \cdot \cosh(y) = 0 \ \ \wedge \ \ \cos(x) \cdot \sinh(y) = 3 \end{eqnarray}$ zu lösen.
15.02.2014, 12:15	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die quadratische Gleichung ist normal zu lösen, wesentlich Unangehmes sehe ich nicht dabei. Und nach der Berechnung von u bist du ja auch schon fertig .. $\begin{eqnarray} z = \frac 1 i \ln u \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z = - i \ln u = \ldots \end{eqnarray}$ mY+
15.02.2014, 12:22	simgeis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das mit Real und Imaginärteil ist eine gute Idee, aber das folgende kenne ich nicht, bzw. haben wir diese Identität noch nicht benutzt (steht auch nicht im skript). ich weiß auch ehrlich gesagt nicht, wie ich das Gleichungssystem lösen soll Zurück zu meinem vorschlag: ich bekomme zwei Lösungen aus der quadratischen Gleichung (rücksubstituiert und logarithmiert): $\begin{eqnarray} z_1 = \ln \left( -3 + \sqrt{10} \right) \\ z_2 = \ln \left( -3 - \sqrt{10} \right) \end{eqnarray}$ Schön und gut. jetzt muss ich ja die beiden Lösungen in dem Logarithmus als e- funktion schreiben und habe dann eine Lösung. Wäre dass dann für z.b 1: $\begin{eqnarray} z_1 = \ln\left( \left(\| -3 + \sqrt{10} \| \right) e^{\operatorname{i}\pi} \right) \ = \operatorname{i} \cdot \pi + \ln\left(\| - 3 + \sqrt{10}\| \right) \end{eqnarray}$
15.02.2014, 14:38	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das scheint mir nicht ganz zu stimmen. Bei der Resubstitution erhält man $\begin{eqnarray} z = - \operatorname{i} \cdot \log \left( \sqrt{10}-3 \right) \ \ \text{oder} \ \ z = - \operatorname{i} \cdot \log \left( - \sqrt{10} - 3 \right) \end{eqnarray}$ Den $\begin{eqnarray} \log \end{eqnarray}$ -Ausdruck mußt du hier als mehrdeutige Funktion auffassen: $\begin{eqnarray} \log(z) = \ln \|z\| + \operatorname{i} \cdot \arg(z) \end{eqnarray}$ Auf der rechten Seite ist mit $\begin{eqnarray} \ln \end{eqnarray}$ der gewöhnliche reelle natürliche Logarithmus gemeint. Die Mehrdeutigkeit steckt in $\begin{eqnarray} \arg(z) \end{eqnarray}$ . Denn das Argument einer komplexen Zahl ist nur modulo $\begin{eqnarray} 2 \pi \end{eqnarray}$ eindeutig bestimmt. $\begin{eqnarray} \sqrt{10}-3 \end{eqnarray}$ ist eine positive reelle Zahl. Also ist das Argument $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ (modulo $\begin{eqnarray} 2 \pi \end{eqnarray}$ ). Und $\begin{eqnarray} - \sqrt{10} - 3 \end{eqnarray}$ ist eine negative reelle Zahl. Also ist das Argument $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ (modulo $\begin{eqnarray} 2 \pi \end{eqnarray}$ ). Daher gilt $\begin{eqnarray} \log \left( \sqrt{10}-3 \right) = \ln \left( \sqrt{10}-3 \right) + \operatorname{i} \cdot 2 \pi k \, , \ \ k \in \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ Was sind also nun die Lösungen der Gleichung?
15.02.2014, 15:31	simgeis	Auf diesen Beitrag antworten »
um noch mal auf die Resubstitution zurückzukommen: $\begin{eqnarray} u = e^z \end{eqnarray}$ daraus habe ich: $\begin{eqnarray} z_{1,2} = u{1,2} \\ e^{z_1} =u_1 \\ z_1 = \log(u_1) \end{eqnarray}$ woher kommt denn das i ? Ich habe ja $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ nicht als $\begin{eqnarray} e^{\operatorname{i}z} \end{eqnarray}$ definiert //// sorry hat sich erledigt... ich dumpfbacke. ich liefer gleich die lösung :-D
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15.02.2014, 15:39	simgeis	Auf diesen Beitrag antworten »
ok. als Lösung müsste ich ja dann: $\begin{eqnarray} z_1 = - \operatorname{i} \cdot \ln(\sqrt{10}-3) + 2 k \pi\\ <br /> z_2 = - \operatorname{i} \cdot \ln(\|-\sqrt{10}-3\|) + \left(\pi + 2\pi \cdot k \right) \end{eqnarray}$ falls das stimmt, vielen vielen dank
16.02.2014, 00:29	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} z_1 \end{eqnarray}$ ist richtig, bei $\begin{eqnarray} z_2 \end{eqnarray}$ sind die Betragszeichen obsolet, denn es es ist bereits das negative Vorzeichen von $\begin{eqnarray} -(\sqrt{10} + 3) \end{eqnarray}$ im Argument $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ berücksichtigt, vor der e-Potenz steht sowieso der (positive) Betrag. Somit ist $\begin{eqnarray} z_2 = -i \cdot \ln (\sqrt{10} + 3) + k(2 \pi + 1) \end{eqnarray}$ Dir ist überdies auch hoffentlich klar, dass bei beiden Lösungen auch der 2. Summand (hinten bei k), welcher i enthielt, mit -i zu multiplizieren war. Warum kann man dennoch sagen, dass die Lösungen jetzt so richtig sind? mY+
16.02.2014, 12:59	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier noch die alternative Lösung. Das Gleichungssystem $\begin{eqnarray} \sin(x) \cdot \cosh(y) = 0 \ \ \wedge \ \ \cos(x) \cdot \sinh(y) = 3 \end{eqnarray}$ ist rein reell. Wegen $\begin{eqnarray} \cosh(y) > 0 \end{eqnarray}$ folgt aus der ersten Gleichung $\begin{eqnarray} \sin(x) = 0 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} x = n \pi \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ . Eingesetzt in die zweite Gleichung erhält man, je nachdem, ob $\begin{eqnarray} n=2k \end{eqnarray}$ gerade oder $\begin{eqnarray} n=2k-1 \end{eqnarray}$ ungerade ist: $\begin{eqnarray} \sinh(y) = \pm 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y = \pm \operatorname{arsinh}(3) \end{eqnarray}$ Die Lösungen sind also $\begin{eqnarray} z = 2k \pi + \operatorname{i} \cdot \operatorname{arsinh}(3) \ \ \text{oder} \ \ z = (2k-1) \pi - \operatorname{i} \cdot \operatorname{arsinh}(3) \end{eqnarray}$ Die verwendete Zerlegung der komplexen Sinusfunktion in Real- und Imaginärteil folgt übrigens unmittelbar aus $\begin{eqnarray} \sin(z) = \frac{1}{2 \operatorname{i}} \left( \operatorname{e}^{\operatorname{i}z} - \operatorname{e}^{-\operatorname{i}z} \right) \end{eqnarray}$ indem man $\begin{eqnarray} z = x + \operatorname{i}y \end{eqnarray}$ setzt, die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion und die Eulersche Formel verwendet und nach rein reellen und imaginären Gliedern ordnet. Die Definitionen der hyperbolischen Funktionen kommen ganz von alleine ins Spiel. Eine nützliche Übung, das einmal durchzurechnen ...

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