Übergangsmatrizen

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14.02.2014, 14:57	GymSchüler2014	Auf diesen Beitrag antworten »
Übergangsmatrizen Hallo ich versuche mich morgen auf die Vorabiklausur vorzubereiten und habe momentan Probleme bei Rechnungen von stabilen Verteilungen. Die Aufgabe : Zu Beginn des Jahres lebten 69,5 Mio Menschen in den westlichen Bundesländern ( einschließlich Berlin). In den fünf neuen Bundesländern lebten 13,5 Mio Menschen. Im Laufe des Jahres siedelten 1,2% der Bevölkerung aus den neuen in die alten Bundesländern um. In die umgekehrte Richtung waren es hingegen nur 0,1%. e) Ermitteln Sie in diesem groben Prognosemodel eine stabile Verteilung der Einwohnerzahlen und vergleichen Sie das Ergebnis mit der einleitenden Stern- Meldung. Stern Meldung: Bis zu 50% seiner heutigen Bevölkerung wird Deutschland Osten langfristig einbüßen. Diese Prognose wagen Forscher des Leibniz-Instituts für Länderkunde in Leipzig. Nun fordern sie Mut zum gekonnten Schrumpfen. Meine Rechnungen bisher : $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 0,999 & 0,012 \\ 0,001 & 0,988 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ I. 0,999x+0x012y=x II. 0,001x+0,988y=y III. x+y=1 I. -0,001x+0,012=0 10* I. -x+12=0 I. x=12 Aber eigentlich soll da x= 6,385 sein.
14.02.2014, 16:15	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Könnte daran liegen, dass Du das y in der ersten Gleichung (0,999x+0,012y=x) übersiehst EDIT: Zudem ist in deinem GLS x und y nur der Anteil an der Gesamteinwohnerzahl. Du wirst also auch dann nicht auf x=6,385 kommen.
14.02.2014, 16:41	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Übergangsmatrizen warum x+y=1 ? für mich müsste das x+y=83 Mio sein. Also die Bevölkerung entwickelt sich iterativ wie folgt: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 0,999 & 0,012 \\ 0,001 & 0,988 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 69.5 \\ 13.5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ nach 1 Jahr. $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 0,999 & 0,012 \\ 0,001 & 0,988 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ nach 2 jahren. das ergibt $\begin{eqnarray} x_{200}=76.096 , y_{200}=6.904 \end{eqnarray}$ nach 200 Jahren. Das kann man auch so schreiben: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 0,999 & 0,012 \\ 0,001 & 0,988 \\ \end{pmatrix}^{200} \cdot \begin{pmatrix} 69.5 \\ 13.5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x_{200} \\ y_{200} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ nur weiß ich nicht, welche Hilfsmittel zulässig sind und wie die Frage "Skizzieren sie grob ... " zu bewerten ist.
14.02.2014, 16:50	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
@Helferlein: etwas spät mein Beitrag, aber habe ewig mit dem TR rumprobiert. edit: mit richtiger Gleichung und x+y=83 Mio funktioniertes, also ziemlich einfach.
14.02.2014, 16:59	GymSchüler2014	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber laut der Formel im Buch berechnet man doch den Fixvektor : $\begin{eqnarray} <br /> M\cdot \vec{x} = \vec{x} <br /> \end{eqnarray}$
14.02.2014, 17:06	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
das stimmt ja auch. Helferlein hat ja auch geschrieben wo der Fehler liegt. und mit x+y =100% erhältst du die relative Endverteilung.
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14.02.2014, 17:19	GymSchüler2014	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich habe alles korrigiert bzw. y diesmal nicht vergessen und komme somit auf folgende Werte : y=0,0769 und x=0,9231
14.02.2014, 17:22	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie oben schon gesagt ist das der Anteil an der Gesamtbevölkerung (also 83 Mio). Wenn du das nun multiplizierst, hast Du die jeweilige Einwohnerzahl.
14.02.2014, 17:37	GymSchüler2014	Auf diesen Beitrag antworten »
aso ja dann habe ich : 0,0769*83= 6,3827 Mio und 76,6173 Mio Aber was ist genau die stabile Verteilung. Was habe ich damit errechnet ?
14.02.2014, 17:40	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
das ist der Fixvektor, es tritt keine Änderungen mehr auf, d.h. die Bevölkerungsströme haben sich ausgeglichen.
14.02.2014, 17:46	GymSchüler2014	Auf diesen Beitrag antworten »
ok , danke für die Hilfe
14.02.2014, 17:58	GymSchüler2014	Auf diesen Beitrag antworten »
wie vergleiche ich das mit der Stern Meldung
14.02.2014, 18:11	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
deine Rechnung bestätigt die * Meldung.
14.02.2014, 18:27	GymSchüler2014	Auf diesen Beitrag antworten »
aufgabe f) Berechnen sie einen wert für die abwanderungsquote aus den Bundesländern der erreicht werden müsste, damit bei gleich bleibender Zuwanderquote aus den alten Bundesländern langfristig eine bevölkerungszahl von 10 Mio nicht unterschritten wird. Was ist der Ansatz bei der aufgabe ?
14.02.2014, 18:57	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
keine Ahnung. ich schreib immer die Änderungen auf: 1.) welche Werte in der Matrix werden variabel ? --> neue Variable einführen 2.) Bevölkerungszahl von was ? Annahme: x+y =10 Mio
14.02.2014, 19:08	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast jetzt den Fixvektor gegeben und sollst dazu die Matrix bestimmen. Diese enthält die Abwanderungsquote als Variable, die es zu bestimmen gilt.

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