gleichmäßige Konvergenz bezüglich Supremumsnorm von x^n in [0,1]

14.02.2014, 15:44

TAKeanice

gleichmäßige Konvergenz bezüglich Supremumsnorm von x^n in [0,1]

Meine Frage:
Beim Vorbereiten auf die Mathematikklausur ist mir die gleichmäßige Konvergenz von Funktionen untergekommen.
Dabei ist mir nicht ganz klar, warum x^n bezüglich der Supremumsnorm $\begin{eqnarray*} $||\cdot||_\infty$ \end{eqnarray*}$ nicht konvergiert. Soweit ich das verstehe, ist die Supremumsnorm das Maximum der Funktion, die eingegeben wird.

Meine Ideen:
Die Grenzfunktion für f_n(x) = x^n lautet f(x) = 0 für alle x aus [0,1) und f(x) = 1 für x=1. $\begin{eqnarray*} $||f(x)-f_n(x)||_\infty$ \end{eqnarray*}$ ist doch der größte Abstand zwischen f_n(x) und f(x) und geht doch somit auch gegen 0!? An der Stelle x = 1 ist der Abstand sowieso immer 0, und für 0<=x<1 wird er doch immer kleiner mit wachsendem n, oder?

Ich weiß, dass eine Grenzfunktion einer stetigen, gleichmäßig konvergenten Funktionenfolge stetig sein muss, womit das bei x^n mit der Grenfunktion f(x) schon widerlegt wäre.

Was mein Problem ist, das ist bloß die scheinbare gleichmäßige Konvergenz bezüglich der Supremumsnorm

14.02.2014, 16:15

10001000Nick1

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RE: gleichmäßige Konvergenz bezüglich Supremumsnorm von x^n in [0,1]

Zitat:

Original von TAKeanice
An der Stelle x = 1 ist der Abstand sowieso immer 0, und für 0<=x<1 wird er doch immer kleiner mit wachsendem n, oder?

Damit begründet man nur die punktweise Konvergenz (müsste man natürlich noch formal beweisen). Aber das zeigt keine gleichmäßige Konvergenz.

Um zu zeigen, dass die Funktionenfolge nicht glm. konvergiert, könntest du zeigen, dass es für jedes $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x_0\in[0,1) \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} |f(x_0)-f_n(x_0)|>0,5 \end{eqnarray*}$ ist.
Daraus würde dann folgen, dass für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} ||f-f_n||_\infty>0,5. \end{eqnarray*}$ (hier schreibt man übrigens nur $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ , nicht $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ ). Und deswegen kann $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ nicht gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ konvergieren.

14.02.2014, 16:38

TAKeanice

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RE: gleichmäßige Konvergenz bezüglich Supremumsnorm von x^n in [0,1]
Alles klar, darüber werde ich nachdenken. Den Beweis, dass es ein solches x für das gilt $\begin{eqnarray*} |f(x) - f_n(x)| > 0,5 \end{eqnarray*}$ gibt, sollte ich hinbekommen. Wolframalpha sagt, $\begin{eqnarray*} f_n(x) = x^n > 0,5 \quad \forall x > 0,5^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$
Die n-te Wurzel aus x ist ja immer kleiner 1 für x kleiner 1 (und insbesondere 0,5), also ist der größte Abstand von f(x) zu f_n(x) auf dem Intervall [0,1), egal wie groß das n wird, immer größer als 0,5. Das ist einleuchtend.

Danke für die schnelle Antwort!

14.02.2014, 16:45

10001000Nick1

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RE: gleichmäßige Konvergenz bezüglich Supremumsnorm von x^n in [0,1]

Zitat:

Original von TAKeanice
Wolframalpha sagt, $\begin{eqnarray*} f_n(x) = x^n > 0,5 \quad \forall x > 0,5^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$

So etwas muss man hier nicht mal angeben. Es reicht auch, wenn man sagt: $\begin{eqnarray*} f_n(0)=0, f_n(1)=1\quad\forall n\in\mathbb{N}. \end{eqnarray*}$ Wegen der Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ werden dann alle Funktionswerte zwischen 0 und 1 angenommen für ein $\begin{eqnarray*} x\in(0,1) \end{eqnarray*}$ (Zwischenwertsatz), also insbesondere auch alle Funktionswerte zwischen 0,5 und 1.

14.02.2014, 17:06

TAKeanice

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RE: gleichmäßige Konvergenz bezüglich Supremumsnorm von x^n in [0,1]

Zitat:

Original von 10001000Nick1 Wegen der Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ werden dann alle Funktionswerte zwischen 0 und 1 angenommen für ein $\begin{eqnarray*} x\in(0,1) \end{eqnarray*}$ (Zwischenwertsatz)

wenn man nicht gefestigt ist in den Definitionen, macht man sich das Leben halt schwer... Aber ich denke, für so etwas muss man auch einfach einen Blick entwickeln.

14.02.2014, 17:11

10001000Nick1

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RE: gleichmäßige Konvergenz bezüglich Supremumsnorm von x^n in [0,1]

Zitat:

Original von TAKeanice
Aber ich denke, für so etwas muss man auch einfach einen Blick entwickeln.

Wenn du so etwas öfters machst, entwickelt sich der von ganz allein. smile

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gleichmäßige Konvergenz bezüglich Supremumsnorm von x^n in [0,1]

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