Anzahl mögliche Trapeze auf einem 5x5 Raster |
| 14.02.2014, 15:50 | CGS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Anzahl mögliche Trapeze auf einem 5x5 Raster Hallo, ich wende mich an dieses Forum mit einer Frage die meine Tochter (4. Klasse Grundschule) als Hausaufgabe gestellt bekam. Vorab: Die Aufgabe stammt aus dem Mathematik Förderheft 4 (Westermann Verlag). Nach Rückfrage konnte auch die Lehrerin die Aufgabe nicht lösen. Aufgabe: Wie viele verschiedene Trapeze kann man auf einem 5x5-Geobrett (Also ein Raster aus 5x5 Punkten)spannen. Mein Denkansatz (bin schon eine gute Zeit aus der Schule raus): Für den ersten Eckpunkt des Trapezes habe ich 25 Möglichkeiten, für den zweiten noch 24, für den 3. 23. Der vierte Eckpunkt ist aber schon komplizierter - erstens muss es ja ein Trapez ergeben, also muss er so gesetzt werden, dass mindestens 2 gegenüberliegende Seiten parallel zueinander sind, zweitens darf es aber kein Quadrat oder Rechteck ergeben. Auch "doppelte", also schon vorhandene Trapeze müsste ich irgendwie ausklammern.... Auf der anderen Seite sage ich mir: Es geht um 4. Klasse Grundschule - ist da höhere Mathematik überhaupt der richtige Lösungsansatz? Da mich sowas aber wurmt, wüsste ich schon gerne die richtige Lösung inkl. Lösungsweg.... Meine Ideen: Leider hab ich keine... |
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| 14.02.2014, 15:56 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da steht ja "Wie viele verschiedene Trapeze ...". Das dürften nicht allzu viele sein; ich denke, da kann man ausprobieren. Was man aber vielleicht noch klären müsste: Was bedeutet "verschiedene"? Werden z.B. kongruente Trapeze, die nur um 90° oder 180° gedreht, oder auch gespiegelt sind, mehrfach gezählt? Und sollen das Paar der parallelen Seiten auch parallel zu den Seiten des Geobretts sein? Würde also ein um 45° gedrehtes Quadrat auch zählen? |
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| 14.02.2014, 16:11 | CGS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich glaube nicht, das man das mal so "ausprobieren" kann - man merkt sehr schnell, das es sich um sehr viele Trapeze handelt. In wie weit "verschiedene" sich auf "gedrehte" oder "verschobene" Trapeze bezieht - keine Ahnung. Die komplette Aufgabe ist in dem Bild gezeigt - mehr Erklärung gibt es nicht. Lustig im übrigen, das dies ein Foto des Lösungsbuches ist - also selbst dort ist keine Lösung vorhanden! |
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| 14.02.2014, 16:26 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gehen wir erstmal davon aus, dass die Trapeze nicht gedreht sind (also das Paar paralleler Seiten ist parallel zu den Seiten des Geobretts) und dass dieses Paar paralleler Seiten an der "oberen" bzw. "unteren" Seite des Trapezes ist. Dann braucht man nur die Trapeze zu betrachten, dessen "oberen" beiden Eckpunkte in der obersten Zeile des Geobretts liegen. Denn die Trapeze, dessen obere beide Eckpunkte nicht in der obersten Zeile liegen, sind dann nur verschoben und werden deswegen nicht mehr gezählt, da man ja nur unterschiedliche Trapeze betrachten soll. Und auch unter den Trapezen, die beide obere Eckpunkte in der oberen Zeile haben, gibt es nochmal einige Wiederholungen. Da dürften das dann eigentlich nicht mehr so viele sein, die da zustandekommen können. Ich werde mal gucken, auf wie viele ich komme. |
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| 14.02.2014, 16:35 | CGS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deine Erklärung klingt durchaus plausibel. Eigentlich bräuchte man ja nur Trapeze mit dem linken, oberen Eckpunkt auf A1,A2,A3 (Frei nach Schiffeversenken) betrachten, den alles andere wäre dann ebenfalls eine Wiederholung. Ich bin mir nur nicht sicher, ob "verschiedene Trapeze" genau dies meint, denn dadurch, das es ein 5x5 Raster ist, wäre ein Trapez mit A1,A3,B1,B2 für mich etwas anderes wie z.B. A2,A4,B2,B3. Wenn dann noch die möglichen Drehungen abgezogen werden.... Wie soll das ein Grundschulkind lösen? |
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| 14.02.2014, 16:41 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hm, ich würde diese beiden Trapeze als gleich betrachten, denn sie sind ja kongruent, also nur verschoben. Meiner Meinung nach zählen Verschiebungen, Drehungen, Spiegelungen ... immer nur einmal. Wenn das nicht so wäre, dann wären es tatsächlich ziemlich viele Trapeze, die man da bilden könnte. |
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| 14.02.2014, 16:43 | CGS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich muss mich korrigieren, die linke, obere Ecke wäre in jedem Fall A1... Alle anderen wären nur verschobene Trapeze... |
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| 14.02.2014, 17:34 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So, ich habe das mal aufgezeichnet. Wenn man nur die Trapeze betrachtet, deren Paar paralleler Seiten parallel zu den Seiten des Geobretts ist, und auch Drehungen, Spiegelungen, ... dieser Trapeze nur einmal zählt, komme ich auf 43 Möglichkeiten (vielleicht habe ich aber auch was vergessen oder doppelt gezählt). Da fehlen jetzt noch die Trapeze, deren Paar paralleler Seiten nicht parallel zu den Seiten des Geobretts sind (falls man die mitzählen soll). Hast du mal probiert? Auf welche Zahl kommst du denn? |
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| 15.02.2014, 08:58 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
unter diesen Voraussetzungen hätte ich 65 plus noch eine ganze Anzahl - ich bin gerade zu faul, da weiter zu zählen - zu bieten, ohne überschlagene Trapeze onegewer 
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| 15.02.2014, 12:28 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Anzahl mögliche Trapeze auf einem 5x5 Raster Kann der Sinn der Aufgabe vielleicht einfach darin liegen, dass die Lütten erkennen, dass es eine ziemlich hohe Anzahl Trapeze ist, die man auf dem kleinen Feld darstellen kann? Das sollte dann in einem didaktischen Begleitheft zum Mathebuch erläutert worden sein. Es würde weiterhin erklären, warum keine Lösung angegeben wird. "Ziemlich viele" zu schreiben wäre ja ein bisschen albern. 
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| 15.02.2014, 13:16 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@riwe: Mir ist vorhin aufgefallen, dass ich einige Trapeze vergessen habe, nämlich die ganzen Parallelogramme. D.h. deine Zahl könnte stimmen. Mit überschlagenen Trapezen wird es ja dann wohl dreistellig.
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| 15.02.2014, 13:30 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sulo wird schon recht haben, dass man(n) / frau nur eine Vorstellung davon bekommen sollte, wie schnell das Zeug wachsen kann. ich hätte es da allerdings besser gefunden, ein kleineres und damit überschaubareres Quadrat zu wählen
mein Verdacht ruht bei n = 109 sehr verdächtig
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| 15.02.2014, 19:12 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hab's mal per Bruteforce zählen lassen, und komme auf insgesamt 177 verschiedene mögliche Trapeze, bei insgesamt auch nur 460 konvexen Vierecken in diesem Gitter. Aber ohne Gewähr, vielleicht ist noch ein Programmierfehler drin.
[attach]33243[/attach] EDIT: Wie befürchtet, war noch ein Fehler drin: Es wurden diverse Parallelogramme mehrfach gezählt. Es sind damit "nur" 424 konvexe Vierecke, darunter 141 Trapeze. Falls jemand noch einen anderen "Bock" findet - bitte melden. Hab noch eine Postskript-Skizze angehängt und die Trapeze ein wenig "geordnet".
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| 17.02.2014, 11:22 | cgskl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hey, Wahnsinn - vielen Dank. Ihr macht euch echt Mühe. Egal, ob es jetzt ein paar mehr, oder weniger Trapeze sind - Ihr stimmt doch mit mir überein, dass diese Aufgabe für 4. Klasse Grundschule deutlich überzogen ist, oder? Der Verlag jedenfalls hat mir keine "Musterlösung" - geschweige denn überhaupt eine Antwort geschickt - insofern bleibt auch die Aufgabenstellung (gedrehte/verschobene Trapeze ja/nein?) noch im Dunkeln. Sollte hier noch was kommen schreibe ich das gerne hier rein. Jedenfalls vielen Dank für eure Mühen! Gruß Christian |
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| 17.02.2014, 16:20 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, muss ich dann wohl selbst tun.
Ja, auch bei den allgemeinen Vierecken hatte ich mich verzählt, bei den Trapezen aber nicht mehr. Daher zumindest mein Schlusswort im Thread: Es sind bis auf Kongruenz (d.h. Verschiebungen, Drehungen, Spiegelungen) genau 408 konvexe Vierecke in dem 5x5-Gitter möglich, darunter 141 Trapeze. 
[attach]33261[/attach] |
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| 26.02.2014, 08:43 | cgs | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, ich wollte nur noch einmal eine kurze Rückmeldung geben. Nach Rücksprache mit dem Verlag habe ich folgende Antwort erhalten: [...] Da der zuständige Redakteur sich zur Zeit in der Elternzeit befindet, habe ich Ihre Nachricht an das Autorenteam weitergeleitet. Die Autorinnen geben Ihnen vollkommen Recht! Für diese Aufgabe gibt es so viele Möglichkeiten, dass diese auch mit einer systematischen Vorgehensweise nur schwer zu finden sind. Wir werden die Aufgabe im Nachdruck auf jeden Fall verändern. Die Forderhefte von Denken und Rechnen sollen besonders leistungsstarken und schnellen Rechnern motivierende und herausfordernde Aufgaben bieten, die aber natürlich trotzdem lösbar sein sollen. Wenn dies an der einen oder andren Stellen nicht gelungen sein sollte, war das selbstverständlich nicht die Absicht – weder der Autorinnen, noch der Redaktion – und tut uns sehr leid. Aus diesem Grund sind wir auch über Hinweise aus der Praxis immer sehr dankbar. [...] Damit ist die Sache auch erledigt. Vielen Dank nochmal! |
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