S_3 alle Untergruppen finden

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Duude Auf diesen Beitrag antworten »
S_3 alle Untergruppen finden
Hallo,
ich möchte alle Untergruppen der finden. Und hätte gerne Rückmeldung, ob ich das richtig gemacht habe.

Klar ist, dass die Gruppe selbst sowie die Gruppe, die nur das neutrale Element enthalten immer Untergruppen sind. Außerdem gibt es nach dem Satz von Lagrange (Untergruppenordnung teilt Gruppenordnung) noch Untergruppen der Ordnung 2 und 3.

Untergruppen der Ordnung 2 gibt es genau 3, nämlich

Die Elemente haben jeweils Ordnung 2, da z.B. für die erste Untergruppe gilt: (1,2)(1,2)=(1)(2)(3). Auch haben die Untergruppen Ordnung 2, denn die Ordnung einer Gruppe wird ja bestimmt durch die Anzahl der Elemente in der Gruppe, diese sind (1,2) und das neutrale Element.

Nun zu den Untergruppen der Ordnung 3. Diese werden erzeugt durch (1,2,3) und (1,3,2). Beide Elemente erzeugen allerdings dieselbe Untergruppe . Diese enthält 3 Elemente, ist also von der Ordnung 3.

Noch eine allgemeine Frage: Hier war es bisher immer so, dass Elemente der Ordnung 2 Untergruppen der Ordnung 2 erzeugt haben und Elemente der Ordnung 3 Untergruppen der Ordnung 3.

Ist das auch allgemein so? Nach der Argumentation oben scheint mir das zumindest bei der so zu sein, denn ein Element der Ordnung 7 muss 7 mal hintereinander ausgeführt werden, um die Identität zu erreichen, insgesamt erhalten wir also 7 verschiedene Elemente bis wir beim siebten, beim neutralen Element herauskommen.

Freue mich über Rückmeldung.
lg Duude
Verdruss Auf diesen Beitrag antworten »

Jap, du hast genau die richtigen Gruppen gefunden.

Und ja, Untergruppen, die von einem Element erzeugt werden, haben immer die Elementordnung als Gruppenordnung. Das kann man auch sehr leicht beweisen, im Endeffekt läuft es darauf hinaus, was du bereits geschrieben hast.
Aber natürlich gibt es auch Untergruppen, die nicht nur von einem Element erzeugt werden. Das sind eben die nicht-zyklischen Gruppen im Gegensatz zu den zyklischen. Das nur noch so am Rande. smile Ist deine Frage damit geklärt?
Duude Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank erstmal für die Antwort.
Ja, allerdings wurden wieder neue Fragen zu zyklischen Gruppen aufgeworfen Augenzwinkern

zur Erzeugung zyklischer Gruppen:
zyklische Gruppen sind ja solche, die von einem Element erzeugt werden. Dafür kann ich jedes Element der Gruppe wählen, außer dem neutralen Element, ist das richtig? Denn das neutrale Element würde mir ja nur die Gruppe geben, in der nur das neutrale Element und keine anderen Elemente liegen. Ich kann also zur Erzeugung einer zyklischen Gruppe nicht beliebig ein Element auswählen, sondern muss darauf achten, dass es nicht das neutrale ist.

Bei zyklischen Gruppen erhalte ich eben immer (außer bei e) die gesamte Gruppe. Und zyklische Gruppen müssten entsprechend nur die triviale Gruppe und sich selbst als Untergruppen haben (also z.B. alle Gruppen mit 2,3,5,7,... (prim) Elementen (nach dem Satz von Lagrange)

Stimmt es, dass in einer Gruppe JEDES Element eine Untergruppe erzeugt?
(also in endlichen Gruppen, in unendlichen muss ja nicht unbedingt eine Potenz das neutrale Element ergeben) Oder kann es Elemente geben, deren Ordnung (und damit die Ordnung der Untergruppe, die sie erzeugen würden) nicht die Gruppenordnung teilen, und die damit keine Untergruppe erzeugen können? Oder Elemente deren Ordnung (in einer endlichen Gruppe) unendlich wäre, weil sie potenziert nie das neutrale Element ergeben?
Falls es so etwas gibt, würde ich mich für die Namen interessieren, dass ich mich da weiter einlesen kann..
Verdruss Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich geh das mal Schritt für Schritt durch Big Laugh

Zitat:
zur Erzeugung zyklischer Gruppen: zyklische Gruppen sind ja solche, die von einem Element erzeugt werden. Dafür kann ich jedes Element der Gruppe wählen, außer dem neutralen Element, ist das richtig?


Nein, dem ist nicht so. Das gilt nur, wenn die Ordnung der Gruppe prim ist. Ansonsten kannst du auch Elemente in einer Gruppe haben, die nicht die Gruppenordnung haben und damit eine weitere Untergruppe erzeugen. Deine Anmerkung mit dem neutralen Element ist natürlich richtig smile

Zitat:
Bei zyklischen Gruppen erhalte ich eben immer (außer bei e) die gesamte Gruppe. Und zyklische Gruppen müssten entsprechend nur die triviale Gruppe und sich selbst als Untergruppen haben (also z.B. alle Gruppen mit 2,3,5,7,... (prim) Elementen (nach dem Satz von Lagrange)


Weiß nicht genau, was du mit deiner letzten Bemerkung meinst, aber siehe oben. Vielleicht klärt es das auch Big Laugh

Zitat:
Stimmt es, dass in einer Gruppe JEDES Element eine Untergruppe erzeugt? (also in endlichen Gruppen, in unendlichen muss ja nicht unbedingt eine Potenz das neutrale Element ergeben) Oder kann es Elemente geben, deren Ordnung (und damit die Ordnung der Untergruppe, die sie erzeugen würden) nicht die Gruppenordnung teilen, und die damit keine Untergruppe erzeugen können? Oder Elemente deren Ordnung (in einer endlichen Gruppe) unendlich wäre, weil sie potenziert nie das neutrale Element ergeben? Falls es so etwas gibt, würde ich mich für die Namen interessieren, dass ich mich da weiter einlesen kann..


Nein, so etwas gibt es nicht bzw. ja, jedes Element einer Gruppe erzeugt eine Untergruppe. Nämlich genau aus dem Resultat, dass jede Untergruppenordnung die Gruppenordnung teilt, kann man folgern, dass auch die Elementordnungen einer Gruppe die Gruppenordnung teilen müssen, eben weil sie eine zyklische Gruppe ihrer Ordnung erzeugen.
Auch das mit der unendlichen Ordnung in endlicher Gruppe kann nicht passieren, ebenfalls zu beweisen, aber intuitiv dürfte klar sein, warum. (und wie man daraufhin den Beweis aufzuziehen hat)
Duude Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die detaillierte Antwort.
Ich hatte etwas daran zu knabbern und der erste Teil ist jetzt klar. Also alles was zyklische Gruppen angeht. Was ich meinte war: Angenommen ich habe eine Gruppe G mit einer Untergruppe U, U sei zyklisch (angenommen das weiß ich schon, z.B. weil die Ordnung von U eine Primzahl ist, wie du meintest) dann wird U von jedem Element aus U erzeugt, außer e.

U selbst wiederum hat (weil U zyklisch ist) nur sich selbst und die triviale Gruppe als Untergruppe (das war das was ich beim 2. Teil meinte)

Zitat:
ja, jedes Element einer Gruppe erzeugt eine Untergruppe. Nämlich genau aus dem Resultat, dass jede Untergruppenordnung die Gruppenordnung teilt, kann man folgern, dass auch die Elementordnungen einer Gruppe die Gruppenordnung teilen müssen, eben weil sie eine zyklische Gruppe ihrer Ordnung erzeugen.

Hier habe ich noch Probleme:
Wenn meine Gruppe oder die Untergruppe zyklisch sind, ist alles klar.
Aber angenommen ich habe eine Gruppe G (habe versucht eine passende zu konstruieren, aber das hat nicht geklappt). Diese habe verschiedene Untergruppen. Wir betrachten eine Untergruppe U, die nicht zyklisch sei, d.h. sie wird von mindestens zwei Elementen erzeugt.
Muss in dem Fall wirklich jedes dieser zwei erzeugenden Elemente eine Ordnung haben, die G teilt?
Das will mir noch nicht direkt einleuchten (aber vllt ist der Beweis auch einfach etwas komplizierter..)


Zitat:
Auch das mit der unendlichen Ordnung in endlicher Gruppe kann nicht passieren, ebenfalls zu beweisen, aber intuitiv dürfte klar sein, warum. (und wie man daraufhin den Beweis aufzuziehen hat)

Mir war das intuitiv noch nicht klar. Ich habe also versucht mir ein Gegenbeispiel zu konstruieren. Angenommen ich habe eine Gruppe mit 4 Elementen. a*a=b, b*a=c und c*a=a. Damit hätte ich einen solchen Kreis und das Element a hätte unendliche Ordnung. Daraus folgt aber, dass c=e ist weshalb es schiefgeht... Analog müsste das dann mit mehreren Elementen gehen.

Noch eine Frage (falls das zu weit geht, könnte ich auch einen neuen Thread eröffnen..)
Das Gegenbeispiel habe ich über eine Verknüpfungstafel betrachtet. Ganz oft habe ich gelesen, dass jedes Element in jeder Zeile und Spalte nur einmal vorkommen darf, allerdings nirgends gefunden warum. Ich nehme an, das würde sonst gegen die Gruppenaxiome verstoßen (bzw. Elemente würden zusammenfallen, wie das in meinem Bsp mit c=e der Fall war..) Stimmt das? Oder wo genau würde das schief gehen?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Duude
Bei zyklischen Gruppen erhalte ich eben immer (außer bei e) die gesamte Gruppe. Und zyklische Gruppen müssten entsprechend nur die triviale Gruppe und sich selbst als Untergruppen haben (also z.B. alle Gruppen mit 2,3,5,7,... (prim) Elementen (nach dem Satz von Lagrange)


Wenn eine zyklische Gruppe keine Primzahlordung hat, dann gibt es nicht-trivaile Untergruppen. Beispiel als additive Gruppe hat die Untergruppen und

Zitat:

Stimmt es, dass in einer Gruppe JEDES Element eine Untergruppe erzeugt? (also in endlichen Gruppen, in unendlichen muss ja nicht unbedingt eine Potenz das neutrale Element ergeben)

Ja!

Zitat:

Oder kann es Elemente geben, deren Ordnung (und damit die Ordnung der Untergruppe, die sie erzeugen würden) nicht die Gruppenordnung teilen, und die damit keine Untergruppe erzeugen können?

Nein!

Zitat:
Oder Elemente deren Ordnung (in einer endlichen Gruppe) unendlich wäre, weil sie potenziert nie das neutrale Element ergeben?


Nein! Das geht nicht aufgrund des Schubfachprinzips. Da es nur endlich viele Elemente in einer solchen Gruppe gibt, muss es zwei Zahlen k < m geben mit , wobei g das Gruppenelement sein soll, dessen Potenzen man betrachtet. Es folgt also nach Multplikation mit , dass . Also hat g endliche Ordnung.
 
 
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Duude
Ganz oft habe ich gelesen, dass jedes Element in jeder Zeile und Spalte nur einmal vorkommen darf, allerdings nirgends gefunden warum. Ich nehme an, das würde sonst gegen die Gruppenaxiome verstoßen (bzw. Elemente würden zusammenfallen, wie das in meinem Bsp mit c=e der Fall war..) Stimmt das? Oder wo genau würde das schief gehen?


Gesetzt den Fall, es wäre und mit , dann müsste gelten
. Widerspruch.
Duude Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Gesetzt den Fall, es wäre und mit , dann müsste gelten . Widerspruch.

Das war ja leichter als gedacht smile

Zitat:
Wenn eine zyklische Gruppe keine Primzahlordung hat, dann gibt es nicht-trivaile Untergruppen. Beispiel als additive Gruppe hat die Untergruppen und

stimmt, wird als additive Gruppe z.B erzeugt durch . Das Argument klappt also wirklich nur bei Primzahlordnung. Wenn ich diese habe, habe ich nur die beiden trivialen Untergruppen.

Über das Schubfachprinzip und dass in einer Gruppe jedes Element eine Untergruppe erzeugt, denke ich bis morgen nochmals nach.. da hab ich aktuell noch ein-zwei Fragezeichen...

Danke nochmal für die bisherige Hilfe.
jester. Auf diesen Beitrag antworten »
RE: S_3 alle Untergruppen finden
Zitat:
Original von Duude
Außerdem gibt es nach dem Satz von Lagrange (Untergruppenordnung teilt Gruppenordnung) noch Untergruppen der Ordnung 2 und 3.


Vorsicht, das ist nicht die Aussage des Satzes von Lagrange. Lagrange sagt, wenn man eine Untergruppe hat, so teilt ihre Ordnung die der Gruppe. Er sagt nicht, dass zu jedem Teiler der Gruppenordnung eine Untergruppe mit dieser Ordnung existiert, denn diese Aussage ist falsch. ist von Ordnung 12 und hat keine Untergruppe der Ordnung 6.
Duude Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen smile

Ich habe jetzt das mit dem Schubfachprinzip verstanden.
In einer endlichen Gruppe gibt es keine Elemente unendlicher Ordnung denn:
Angenommen es gäbe ein Element in einer Gruppe, welches unendliche Ordnung hat. Dieses sei a wobei a,b,c ungleich e sein sollen. Dann gilt: was ein Widerspruch zu ist.

Angenommen es gäbe ein Element a in einer endlichen Gruppe welches unendliche Ordnung hat, der folgenden Art:
, wobei a,b,c ungleich e seien. Dann gilt: , was ein Widerspruch zu ist.

Da ich in einer endlichen Gruppe bin, habe ich nur endlich viele Elemente, kann also obige Argumentation analog für alle Elemente durchführen.


@jester: stimmt, das war nicht richtig formuliert so. Richig wäre: Nach dem Satz von Lagrange haben mögliche Untergruppen die Ordnung 2 und 3. Es muss diese Untergruppen nicht unbedingt geben, wie dein Bsp zeigt.


Gibt es eigentlich einen Satz der mir sagt, wieviele Untergruppen eine Gruppe hat? Das wäre geschickt, um zu wissen, wann ich alle Untergruppen gefunden habe..

Bisher weiß ich nur, dass durch der Index eine obere Schranke für die Anzahl der Untergruppen der entsprechenden Ordnung darsellen. z.B. in .
Es gilt: . Dabei ist |G/U| der Index von U in G, also die Anzahl der Äquivalenzklassen. Betrachte ich Untergruppen der Ordnung 2, dann erhalte ich 3 Stück . Es gilt 6=2*3
Betrachte ich aber Untergruppen der Ordnung 3, dann gilt 6=3*2, es könnte also 2 Untergruppen geben, diese fallen aber zusammen zu <(1 2 3)>.
Und wie jester gesagt hat, muss auch nicht zu jeder möglichen Untergruppenordnung eine Untergruppe existieren. Ich kann so also nicht herausfinden, ob ich alle Untergruppen gefunden habe.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Duude

In einer endlichen Gruppe gibt es keine Elemente unendlicher Ordnung denn:
Angenommen es gäbe ein Element in einer Gruppe, welches unendliche Ordnung hat. Dieses sei a wobei a,b,c ungleich e sein sollen. Dann gilt: was ein Widerspruch zu ist.

Angenommen es gäbe ein Element a in einer endlichen Gruppe welches unendliche Ordnung hat, der folgenden Art:
, wobei a,b,c ungleich e seien. Dann gilt: , was ein Widerspruch zu ist.

Da ich in einer endlichen Gruppe bin, habe ich nur endlich viele Elemente, kann also obige Argumentation analog für alle Elemente durchführen.

So kannst du nicht argumentieren. Beispiele sind kein Beweis. Höchstens Gegenbeispiele, um eine Behauptung zu widerlegen.

Zitat:

Gibt es eigentlich einen Satz der mir sagt, wieviele Untergruppen eine Gruppe hat? Das wäre geschickt, um zu wissen, wann ich alle Untergruppen gefunden habe.

Im Allgemeinen meines Wissens nicht. Für Untergruppen mit speziellen Ordnungen gibt es beipielsweise die Sylowsätze, die auch Aussagen über die Anzahl der p-Sylowgruppen machen. Da mach dich gegebenenfalls mal kundig.

Zitat:

Bisher weiß ich nur, dass durch der Index eine obere Schranke für die Anzahl der Untergruppen der entsprechenden Ordnung darsellen.

Keine Ahnung, wo du das her hast. Das stimmt nicht. Nimm beispielsweise die Kleinsche Vierergruppe. Dort gibt es 3 Untergruppen der Ordnung 2 und diese haben den Index 2.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Duude
. Dabei ist |G/U| der Index von U in G, also die Anzahl der Äquivalenzklassen.


Nimm für den Index besser . Der Ausdruck ist schon besetzt und bezeichnet eine Faktorgruppe, wenn U ein Normalteiler von G ist.
Duude Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
So kannst du nicht argumentieren. Beispiele sind kein Beweis. Höchstens Gegenbeispiele, um eine Behauptung zu widerlegen.


Ja, das was ich geschrieben habe ist nicht wirklich der Beweis sondern die Vorgehensweise aufgrund derer man auf den Beweis (den du oben ja schon geschrieben hast) kommen kann, weil ich den zuerst nicht nachvollziehen konnte. Es ist eben so, dass wir in einer endlichen Gruppe beim Potenzieren irgendwann auf ein Element kommen müssen, das wir schon einmal als Potenz hatten (ich hatte oben hierzu zwei Beispiele gebracht). Das ist der Fall, da wir für eine unendliche Ordnung unendlich oft potenzieren müssten (und immer unterschiediche Elemente erhalten müssten), aber aufgrund nur endlich vieler Elemente irgendwann eines doppelt erhalten (aufgrund des Schubfachprinzips). Dann aber erhalten wir das neutrale Element auch als Potenz.

Zitat:
Im Allgemeinen meines Wissens nicht. Für Untergruppen mit speziellen Ordnungen gibt es beipielsweise die Sylowsätze, die auch Aussagen über die Anzahl der p-Sylowgruppen machen. Da mach dich gegebenenfalls mal kundig.


ok, mach ich. Danke.

Zitat:
Keine Ahnung, wo du das her hast. Das stimmt nicht. Nimm beispielsweise die Kleinsche Vierergruppe. Dort gibt es 3 Untergruppen der Ordnung 2 und diese haben den Index 2.


Das hatte ich aus dem geschlussfolgert, was ich schon weiß.
Dein Beispiel habe ich nachvollzogen, das stimmt natürlich.
Also muss ich eine falsche Vorstellung vom Index (gehabt) haben. Mir fehlt auch irgendwie noch etwas die Anschauung dafür, was der Index bedeutet...


Ich habe hier mal aufgeschrieben, was ich über den Index weiß bzw wie ich das gefolgert habe. (habe mal noch meine bisherige Schreibweise verwendet, denn vllt liegt gerade da der Fehler)

Eine Gleichung, die ich für den Index kenne ist nach dem Satz von Lagrange dass der Index einer Untergruppe = Gruppenordnung/Untergruppenordnung ist. (aufgrund dessen habe ich dein Bsp nachvollzogen)

Wir haben eine Äquivalenzrelation wie folgt definiert:
Sei G zusammen mit der Verknüpfung eine Gruppe und U eine Untergruppe von G.
ist eine Äquivalenzrelation. Die Menge der Äquivalenzklassen ist G/U. Äquivalenzklassen sind von der Form a*U mit a aus G. a*U sind Linksnebenklassen von U in G. Analog wurden Rechtsnebenklassen definiert.

Dann kam der Satz von Lagrange: . Dabei ist |G/U| der Index von U in G. Also ist die Anzahl der Untergruppen gleich der Gruppenordnung geteilt durch den Index der gesuchten Untergruppen.

Also müsste doch |G/U| die Anzahl der Linksnebenklassen sein, oder? Da Linksnebenklassen Äquivalenzklassen bilden, sind sie disjunkt. Daraus habe ich meine Aussage gefolgert (weiß aber gerade selber nicht mehr genau wie...)

Stimmt das soweit, was ich über den Index geschrieben habe? Oder wie kann ich mir den (besser) vorstellen?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Duude
Dann kam der Satz von Lagrange: . Dabei ist |G/U| der Index von U in G. Also ist die Anzahl der Untergruppen gleich der Gruppenordnung geteilt durch den Index der gesuchten Untergruppen.

Wo taucht in dieser Gleichung die Anzahl der Untergruppen auf? |U| ist die Ordnung der Untergruppe U.

Linksnebenklassen sind keine Untergruppen, bis auf eine Ausnahme. Die einzige Untergruppe, die gleichzeitig Linksnebenklasse von U ist, ist die Linksnebenklasse nach e (das neutrale Element oder die 1), also eU = U. Alle anderen enthalten die 1 nicht, können also keine Untergruppen sein.


Zitat:

Also müsste doch |G/U| die Anzahl der Linksnebenklassen sein, oder? Da Linksnebenklassen Äquivalenzklassen bilden, sind sie disjunkt.

Ja. Aber eine Schlussfolgerung über die Anzahl der Untergruppen vom Index |G/U| kannst du daraus nicht ziehen.
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