Ableitung von f(k*x)

14.02.2014, 20:38

Científico

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Ableitung von f(k*x)

Hallo!

Ich habe eine Frage zur Ableitungsregel von f(k*x). Wichtig ist noch, dass wir die Kettenregel noch nicht gelernt haben.

Also wir haben gesagt, dass $\begin{eqnarray*} g(x) = f(k\cdot x)<br /> g'(x) = k\cdot f'(k\cdot x) \end{eqnarray*}$

Dann steht in unserem Buch, dass die Ableitung der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=e^{k\cdot x} \end{eqnarray*}$ gemäß der oben genannten Regel gleich $\begin{eqnarray*} f'(x)=k\cdot e^{k\cdot x} \end{eqnarray*}$ ist. Mein Problem ist nur, dass ich nicht genau verstehe, wie ich mithilfe der erstgenannten Regel auf dieses Ergebnis komme.

--> Sind diese Überlegungen richtig? :

zB: Gegeben: $\begin{eqnarray*} f'(x)=k\cdot e^{2\cdot x} \end{eqnarray*}$
Gemäß $\begin{eqnarray*} g'(x) = k\cdot f'(k\cdot x) \end{eqnarray*}$ --> $\begin{eqnarray*} f'(x)= 2\cdot f'(e^{2\cdot x} ) = 2 \cdot e^{2\cdot x} \end{eqnarray*}$

Erstaunt1

Erstaunt1

14.02.2014, 20:48

mYthos

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Da hilft nix anderes: Es IST die Kettenregel!
Das Ergebnis ist richtig.

mY+

14.02.2014, 20:49

Nobundo

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RE: Ableitung von f(k*x)
Ich glaube da bist du etwas durcheinander gekommen. Ihr hattet folgende Regel festgehalten:

$\begin{eqnarray*} g(x)=f(kx) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow g'(x)=k\cdot f'(kx) \end{eqnarray*}$

In deinem Beispiel ist jetzt

$\begin{eqnarray*} g(x)=f(kx)=e^{kx} \end{eqnarray*}$

und du willst nach der obigen Regel die Ableitung $\begin{eqnarray*} g'(x) \end{eqnarray*}$ bestimmen

14.02.2014, 20:55

Nobundo

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RE: Ableitung von f(k*x)
Wie mYthos gesagt hat ist das was du brauchst die Kettenregel, aber das hier:

Zitat:

Original von Científico

--> Sind diese Überlegungen richtig? :

zB: Gegeben: $\begin{eqnarray*} f'(x)=k\cdot e^{2\cdot x} \end{eqnarray*}$
Gemäß $\begin{eqnarray*} g'(x) = k\cdot f'(k\cdot x) \end{eqnarray*}$ --> $\begin{eqnarray*} f'(x)= 2\cdot f'(e^{2\cdot x} ) = 2 \cdot e^{2\cdot x} \end{eqnarray*}$

ist nicht richtig.

14.02.2014, 21:08

mYthos

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Ähhm, ja, er hat das k ausgelassen, hab' ich übersehen ...
THX

mY+

14.02.2014, 22:04

Científico

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Danke für eure zahlreichen, schnellen Antworten.
Unser Buch scheint in dieser Hinsicht etwas unsystematisch vorzugehen, denn ich habe gesehen, dass die Kettenregel erst ein paar Seiten später kommt, dafür aber mit dem Hinweis, dass die Regel, die ich erwähnt habe, ein Spezialfall der Kettenregel sei - ergibt das mehr Sinn?

Nobundo hat ja gesagt dass $\begin{eqnarray*} g(x)=f(kx)=e^{kx} \end{eqnarray*}$ gilt. Ich blicke immer noch nicht ganz durch - stehen k und x für ein Produkt, das auch in der Potenz vorkommen kann?

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14.02.2014, 22:07

Dopap

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RE: Ableitung von f(k*x)

Zitat:

Original von Científico

Also wir haben gesagt, dass $\begin{eqnarray*} g(x) = f(k\cdot x)<br /> g'(x) = k\cdot f'(k\cdot x) \end{eqnarray*}$

mmh... das erfordert aber hohe Präzision im Verständnis des Ableitungsstriches.

gemeint ist wohl:

$\begin{eqnarray*} g'(x) = k\frac {\dd }{\dd (kx)}f(kx) \end{eqnarray*}$ , wobei mir

$\begin{eqnarray*} g'(x) = k\frac {\dd }{\dd (u)}f(u) \end{eqnarray*}$ , mit u=kx immer noch besser gefällt.

14.02.2014, 22:17

Científico

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RE: Ableitung von f(k*x)

Zitat:

Original von Dopap

Zitat:

Original von Científico

Also wir haben gesagt, dass $\begin{eqnarray*} g(x) = f(k\cdot x)<br /> g'(x) = k\cdot f'(k\cdot x) \end{eqnarray*}$

mmh... das erfordert aber hohe Präzision im Verständnis des Ableitungsstriches.

gemeint ist wohl:

$\begin{eqnarray*} g'(x) = k\frac {\dd }{\dd (kx)}f(kx) \end{eqnarray*}$ , wobei mir

$\begin{eqnarray*} g'(x) = k\frac {\dd }{\dd (u)}f(u) \end{eqnarray*}$ , mit u=kx immer noch besser gefällt.

$\begin{eqnarray*} g'(x) = k\frac {\dd }{\dd (kx)}f(kx) \end{eqnarray*}$ Wenn ich diese Regel auf mein Beispiel von $\begin{eqnarray*} e^{kx} \end{eqnarray*}$ anwende, erhalte ich ja $\begin{eqnarray*} f'(x)=k\cdot e^{1} \end{eqnarray*}$ , oder ?

14.02.2014, 22:21

Dopap

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ich erhalte $\begin{eqnarray*} g'(x)=ke^u \quad \text{oder nach Rücksubstitution} \quad g'(x)=ke^{kx} \end{eqnarray*}$

14.02.2014, 22:29

Científico

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$\begin{eqnarray*} f(x)=u<br /> f'(x) = 1 \end{eqnarray*}$

Ich verstehe deinen Rechenschritt nicht genau - wärst du so nett, und könntest mir die ganze Rechnung aufschreiben, damit ich mir das Schritt für Schritt überlegen kann, bitte? smile

smile

Irgendwo dürfte ich auf der Leitung stehen, glaube ich.

14.02.2014, 22:35

Dopap

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RE: Ableitung von f(k*x)

Zitat:

Original von Dopap

$\begin{eqnarray*} g'(x) = k\frac {\dd }{\dd (u)}f(u) \end{eqnarray*}$ , mit u=kx immer noch besser gefällt.

du musst genau lesen: u(x)=kx und nicht f(x)=u

geht es jetzt ?

14.02.2014, 22:50

Científico

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$\begin{eqnarray*} g'(x) = k\frac {\dd }{\dd (u)}f(u) \end{eqnarray*}$

Ich setze also für das $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} e^u \end{eqnarray*}$ ein und bekomme: $\begin{eqnarray*} f'(x)=k\cdot f'(e^{u} ) \end{eqnarray*}$ . Da die Ableitung von $\begin{eqnarray*} e^u \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} e^u \end{eqnarray*}$ ist, erhalte ich $\begin{eqnarray*} f'(x)=k\cdot e^{u} \end{eqnarray*}$ . Durch Rücksubstitution kommen wir schließlich auf $\begin{eqnarray*} f'(x)=k\cdot e^{k\cdot x} \end{eqnarray*}$ . Ich denke, das stimmt jetzt? smile

smile

Was mir nur etwas unlogisch erscheint, ist, dass ,an für den Ausdruck f(u) bzw f(kx) das e hoch diesen Werten anstatt nur u bzw kx einsetzen muss?

Wann sollte man die Kettenregel im Allgemeinen anwenden? Bei e-Funktionen und "verketteten" Funktionen?

14.02.2014, 23:06

Dopap

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immer wenn das Argument einer bekannten Funktion x ist, dann gelten die üblichen Ableitungsregeln:

$\begin{eqnarray*} (x^k)'=kx^{k-1}<br /> (\sin(x))'=\cos(x)<br /> (\ln(x))'=\tfrac 1x<br /> \end{eqnarray*}$

testen wir mal $\begin{eqnarray*} f(x)=({2x})^4 \end{eqnarray*}$

1.) normal: $\begin{eqnarray*} f(x)=16x^4 \Rightarrow f'(x)=64x^3 \end{eqnarray*}$

2.) und jetzt mit Kettenregel ...

edit: da bin ich mit den Potenzen durcheinandergekommen unglücklich

unglücklich

14.02.2014, 23:42

Científico

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Laut meiner Kettenregel müsste Folgendes herauskommen $\begin{eqnarray*} f'(x)=k\cdot f'(k\cdot x) = 4 \cdot f'(2x^{4}) = 4\cdot 8x^{3} =32x^{3} \end{eqnarray*}$ , was aber nicht sein kann, da das deinem Anfangsergebnis widerspricht. Wo liegt mein Fehler? :/

15.02.2014, 00:01

Dopap

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Zitat:

Original von Científico
Laut meiner Kettenregel müsste Folgendes herauskommen $\begin{eqnarray*} f'(x)=k\cdot f'(k\cdot x) = 4 \cdot f'(2x^{4}) = 4\cdot 8x^{3} =32x^{3} \end{eqnarray*}$ , was aber nicht sein kann, da das deinem Anfangsergebnis widerspricht. Wo liegt mein Fehler? :/

das liegt natürlich daran dass du elementare Fehler begehst, insbesondere ist $\begin{eqnarray*} (2x)^4 \neq 2x^4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=2\cdot f'(2x)=2 \cdot 4(2x)^3=2\cdot 4 \cdot 8 x^3 = \end{eqnarray*}$

15.02.2014, 09:49

Científico

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Danke für deine Hilfe! smile

smile

Ich sollte die Kettenregel jetzt verstanden haben. Ja, das war wirklich ein blöder Fehler von mir - war wohl ein bisschen spät für mich.

Eine letzte Frage habe ich noch bezüglich der Ableitung einer Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=a^{x} \end{eqnarray*}$ . Die Ableitung ist $\begin{eqnarray*} f'(x)=a^{x} \cdot lna \end{eqnarray*}$

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} <br /> f(x)=- 10^{x}<br /> f'(x)=- 10^{x}\cdot ln(- 10)<br /> \end{eqnarray*}$

Laut meinem Buch ist es aber ln10 - warum? Das a ist doch -10 .

15.02.2014, 11:17

Nobundo

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Nein es ist a=10 auch in deinem Beispiel, a=-10 würde bedeuten

$\begin{eqnarray*} f(x)=(-10)^x \end{eqnarray*}$

15.02.2014, 12:33

Científico

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Stimmt. Aber wenn in meinem Beispiel a=10 dann müsste die Ableitung doch $\begin{eqnarray*} f'(x)=10^{x} \cdot ln10 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} f'(x)=- 10^{x} \cdot ln10 \end{eqnarray*}$ sein, da ja gilt: $\begin{eqnarray*} f'(x)= a^{x} \cdot lna \end{eqnarray*}$ , oder?

15.02.2014, 13:53

Nobundo

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Es ist zwar a=10 aber deine Funktion lautet

$\begin{eqnarray*} f(x)=-a^x=-\left(a^x\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{d}{dx}f(x)=-\frac{d}{dx}a^x \end{eqnarray*}$

also bleibt das Minuszeichen vor der Ableitung stehen.

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