Aufgabe zur Verteilung und Dichte

Neue Frage »

schlomo76 Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe zur Verteilung und Dichte
Es sei
eine reellwertige Funktion.

a) Zeigen Sie, F(x) ist eine Verteilungsfunktion einer reellwertigen Zufallsvariablen X.
Bestimmen Sie die Dichtefunktion f(X) von X.

b)Berechnen Sie die folgende Erwartungswerte: E(X), E(|X|),E(X^2) sowie die Varianz var(X)!

c) Erzeugen Sie eine Realisierung von durch geeignete Transformation einer Zufallszahl .

zu a)
Was soll man hier beim ersten Teil hinschreiben?
2. Teil ist klar



zu b)



und jetzt?







zu c)
Was ist hier mit Realisierung gemeint?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von schlomo76
Es sei
eine reellwertige Funktion.

a) Zeigen Sie, F(x) ist eine Verteilungsfunktion einer reellwertigen Zufallsvariablen X.

Nein, ist sie nicht, denn dein ist für streng monoton fallend statt monoton wachsend, und es gilt bei dir statt des geforderten .

Vermutlich meinst du eigentlich die Funktion

,

dann wird ein Schuh draus. Augenzwinkern
 
 
schlomo76 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast vollkommen recht, so muß Sie lauten. Wie gehts nun weiter?

Für den Nachweis der Verteilungsfunktion muß also lauten.

Aber für läuft sie doch gegen 2 und nicht gegen 1.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Hab zwar nicht viel Ahnung von dem Thema aber hast du nicht die 1/2 am Anfang vergessen? Dann geht es gegen 1
schlomo76 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt!

Die Dichtefunktion ist jetzt



b)




Das kann kann doch nicht richtig sein.

Oder geht man hier irgendwie analog zu Exponentialverteilung ran? Aber stimmt ja auch nicht ganz.
Zahlenschubser Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Ohne von vorne bis hinten durchgelesen und nachgerechnet zu haben. Aber eine Verteilung hat nicht zwangsläufig auch immer einen Erwartungswert oder eine Varianz. Zum Beispiel hat das Verhältnis zweier standardnormalverteilter Zufallsvariablen diese (fehlende) Eigenschaft, da sie Standard-Cauchy-verteilt ist.
schlomo76 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke aber nicht, daß das hier der Fall ist. Ich würde nicht davon ausgehen, daß eine Aufgabe gestellt wird, um als Ergebnis zu haben, es gibt kein Ergebnis.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von schlomo76
Die Dichtefunktion ist jetzt


Nein, ist sie nicht. Sondern

,

oder kurz und bündig für alle reellen .
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem c) stellt sich z.B., wenn du Zufallszahlen, die nach verteilt sind, mit dem Computer erzeugen willst. Das kann der ja nicht unmittelbar. Wohl aber kann er gleichverteilte Zufallszahlen generieren:



Die Idee ist relativ einfach: Da streng monoton wächst, besitzt eine Umkehrabbildung :





Betrachte daher die Zufallsgröße und berechne .

Die Formeln für und sowie aus dem ersten Beitrag stimmen übrigens nicht, und zwar nicht nur wegen der falschen Dichte. Daß diese falsch ist, darauf hat Arthur ja schon hingewiesen.
Enigmation Auf diesen Beitrag antworten »

Die Dichtefunktion ist



nun zu b)





Stimmt das?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
Enigmation Auf diesen Beitrag antworten »

Na dann machen wir mal weiter.




Auch ok?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Nein - ich hab's mir nicht angeschaut, aber vermutlich ein Vorzeichenfehler. Varianz Null kann nur bei Einpunktverteilung vorkommen!
Enigmation Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast Recht, ich habe einen Vorzeichenfehler in der Rechnung gehabt.
So sollte es richtig sein:







und dann wollen wir das noch fortsetzen.



AD Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt. Freude
Enigmation Auf diesen Beitrag antworten »

Und nun noch die letzte Teilaufgabe von b) und schlomo76 darf sich bedanken :-)


Dieser Teil wurde schon bei E(X) ausgerechnet.


Ist das korrekt?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Das Ergebnis stimmt, die angegebene Formel beinhaltet allerdings schon die Symmetrie , ist also nur da in dieser Weise gültig.
Enigmation Auf diesen Beitrag antworten »

aha, und wie ist E(|X|) allgemein?
Enigmation Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe zur Verteilung und Dichte
Zitat:
Original von schlomo76
Es sei
eine reellwertige Funktion.

c) Erzeugen Sie eine Realisierung von durch geeignete Transformation einer Zufallszahl .

zu c)
Was ist hier mit Realisierung gemeint?



Das Vorgehen bei einer Transformation ist:
1) Berechnen der Stammfunktion von f(x), um die Verteilungsfunktion zu erhalten (dieser Schritt ist hier nicht mehr nötig)
2) Berechnen von




Da wir eine Gleichverteilung zwischen 0 und 1 wünschen, sollten wir den beiden Teilfunktionen ein gleich großes Intervall übergeben:

AD Auf diesen Beitrag antworten »

Allgemein für stetige Zufallsgrößen:

Enigmation Auf diesen Beitrag antworten »

Danke. Und hast du dir mal die lsg zu c) angesehen, ob du das so als richtig erachtest ?!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Mal ansehen ... Jepp, Ok - eine korrekte Umsetzung der Inversionsmethode. Freude
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »