Vektoren

14.02.2014, 19:50

Qr5

Erzeugendensystem / Basis / Vektoren

Meine Frage:
Hallo liebe COM,
Ich habe eine kurze Frage an euch. Undzwar kann man Vektoren Basis nennen, wenn 1) Ein Erzeugendensystem vorhanden ist und wenn es linear unabhängig ist..Nun meine Frage.. woran erkennt man ob ein Erzeugendensystem vorhanden ist?

Meine Ideen:
hier z.b ? {(1, 2), (0, 1), (1, 0)} ist ein Erzeugendensystem von R2
Das wäre z.b ein Erzeugendensystem ( unabhängig ist es auch vondaher =>Basis)
{(1, 1), (2, 2), (3, 3)} ist kein Erzeugendensystem von R2
Das ist kein E-System... Und ich verstehe leider nicht warum. wollte testen ob dort eine lineare unabhängigkeit gibt, aber bei meiner rechnung kam dan 0 = 0 raus.. Kann es eventuell damit zu tun haben , dass es kein erzeugendensystem ist?

Mfg

14.02.2014, 19:57

Mime

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RE: Erzeugendensystem / Basis / Vektoren

Zitat:

Original von Qr5
hier z.b ? {(1, 2), (0, 1), (1, 0)} ist ein Erzeugendensystem von R2
Das wäre z.b ein Erzeugendensystem ( unabhängig ist es auch vondaher =>Basis)

Nein, die sind nicht linear unabhängig. Aber es ist richtig, dass sie ein Erz.system bilden.

Du hast einen Vektorraum $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ gegeben, z.B. $\begin{eqnarray*} V=\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ . Ein Erzeugendensystem $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist eine Menge von Vektoren, mit Hilfe derer man jedes $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ als Linearkombination schreiben kann.

14.02.2014, 20:31

SoNii

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Ah stimmt sind doch linear abhängig somit keine Basis...

{(1, 1), (2, 2), (3, 3)} ist kein Erzeugendensystem von R2.
können Sie mir vielleicht zeigen wie man hier sehen kann das es kein erzeugendensystem ist.
könnte ich es so rechnen : z.b jeden vektor eine kombination geben z.b x ,y ,z danach = 0 oder eventuell nur x und y = 3vektor .. danach schauen ob am ende jeder vektor eine kombination hat

Bei der Aufgabe : {(1, 2), (0, 1), (1, 0)} } ist ein Erzeugendensystem von R2.
Da hab ich einfach den ersten vektor x den 2ten y = den 3ten vektor gemacht und kam dann am ende dann auf x = 1 , y= -2 wenn ich dann die zahlen jeweils mit deren Vektoren multipliziere komm ich aber trotzdem nicht auf den 3ten vektor ( 1, 0). bin momentan irgendiwe verwirrt wäre echt nett, wenn Sie mir weiterhelfen würden Big Laugh

14.02.2014, 20:38

Mime

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Zitat:

Original von SoNii
{(1, 1), (2, 2), (3, 3)} ist kein Erzeugendensystem von R2.
können Sie mir vielleicht zeigen wie man hier sehen kann das es kein erzeugendensystem ist.

Kein Problem: Sie suchen sich einfach einen Vektor aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ heraus, der sich nicht als Linearkombi der Vektoren $\begin{eqnarray*} (1,\ 1),\ (2,\ 2),\ (3,\ 3) \end{eqnarray*}$ schreiben lässt, z.B. $\begin{eqnarray*} v=(0,\ 1) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von SoNii
Bei der Aufgabe : {(1, 2), (0, 1), (1, 0)} } ist ein Erzeugendensystem von R2.
Da hab ich einfach den ersten vektor x den 2ten y = den 3ten vektor gemacht und kam dann am ende dann auf x = 1 , y= -2 wenn ich dann die zahlen jeweils mit deren Vektoren multipliziere komm ich aber trotzdem nicht auf den 3ten vektor ( 1, 0). bin momentan irgendiwe verwirrt wäre echt nett, wenn Sie mir weiterhelfen würden Big Laugh

Was wollen Sie da genau zeigen?

14.02.2014, 20:50

SoNii

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"Kein Problem: Sie suchen sich einfach einen Vektor aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ heraus, der sich nicht als Linearkombi der Vektoren $\begin{eqnarray*} (1,\ 1),\ (2,\ 2),\ (3,\ 3) \end{eqnarray*}$ schreiben lässt, z.B. $\begin{eqnarray*} v=(0,\ 1) \end{eqnarray*}$ ."

Also wenn ich die Aufgabe dann rechne kommt 0 =1 raus und somit ist keine linearkombination für die anderen vektoren enstanden und somit ist bewiesen ,dass es kein erzeugendensystem ist? wäre das damit so korrekt ?
und die ( 0,1 ) haben sie genommen weil es keine vielfache von den 3 vektoren ist ? bzw Sie meinten, " der sich nicht als Linearkombi der Vektoren schreiben lässt " und (0,1) würde gehen weil es kein vielfaches ist. also wären die einzigen Optionen die man nehmen könnte (0,0 ) (0,1) und (1,0) ? Big Laugh

14.02.2014, 20:57

Mime

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Zitat:

Original von SoNii
Also wenn ich die Aufgabe dann rechne kommt 0 =1 raus und somit ist keine linearkombination für die anderen vektoren enstanden und somit ist bewiesen ,dass es kein erzeugendensystem ist? wäre das damit so korrekt ?

Genau. $\begin{eqnarray*} \lambda_1 (1,\ 1)+\lambda_2 (2,\ 2)+\lambda_3 (3,\ 3)=(0,\ 1) \end{eqnarray*}$ klappt nicht.

Zitat:

Original von SoNii
und die ( 0,1 ) haben sie genommen weil es keine vielfache von den 3 vektoren ist ? bzw Sie meinten, " der sich nicht als Linearkombi der Vektoren schreiben lässt " und (0,1) würde gehen weil es kein vielfaches ist.

Genau.

Zitat:

Original von SoNii
also wären die einzigen Optionen die man nehmen könnte (0,0 ) (0,1) und (1,0) ? Big Laugh

$\begin{eqnarray*} (0,\ 0) \end{eqnarray*}$ könnte man nicht nehmen. Augenzwinkern

Darüber hinaus würden aber $\begin{eqnarray*} (2,\ 0),\ (1,\ 2) \end{eqnarray*}$ und unendlich andere auch gehen. $\begin{eqnarray*} (0,\ 1) \end{eqnarray*}$ ist halt schön einfach.

14.02.2014, 21:14

SoNii

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Ah ok cool, Vielen Dank .. nochmal sicher zu gehen also wenn ich z.B:
(1,2) , (0,1) habe. dann einfach x (1,2) y(0,1) = (1,0) hab jetz 1,0 als vektor ausgewählt.. am ende kriege ich dann für x= 1 und für y= -2 raus und wenn ich es dann einsetze kommt das raus:
1(1,2) -2(0,1) = (1,0). So und wenn ich jetz es multiplizier , kommt man nicht auf die (1,0)... ist es also sozusagen irrelevant was rauskommt.. man muss nur zeigen das vor den vektoren eine linearkombination gibt?

Und Sie meinten :
"Darüber hinaus würden aber $\begin{eqnarray*} (2,\ 0),\ (1,\ 2) \end{eqnarray*}$ und unendlich andere auch gehen. $\begin{eqnarray*} (0,\ 1) \end{eqnarray*}$ ist halt schön einfach."
Also heist das, dass ich jede x beliebige zahl nehmen kann wenn die 0 oder die 1 dabei ist also z.b (0,5 ) ,(1,4) , (0,435) , (1,4242 ) . Zahlen sind jetz bissl übertrieben aber nur als verständnis nochmal Big Laugh

und meine letzte frage an Sie wäre..Stimmt es das ab einer 3x4 Matrix die Vektoren immer linear abhängig sind?

Danke nochmal für Ihre Zeit smile

schreibe nächste Woche Algebra Klausur, musste mich nur noch etwas mit den Vektoren beschäftigen Big Laugh

14.02.2014, 21:29

Mime

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Zitat:

Original von SoNii
Ah ok cool, Vielen Dank .. nochmal sicher zu gehen also wenn ich z.B:
(1,2) , (0,1) habe. dann einfach x (1,2) y(0,1) = (1,0) hab jetz 1,0 als vektor ausgewählt.. am ende kriege ich dann für x= 1 und für y= -2 raus und wenn ich es dann einsetze kommt das raus:
1(1,2) -2(0,1) = (1,0). So und wenn ich jetz es multiplizier , kommt man nicht auf die (1,0)... ist es also sozusagen irrelevant was rauskommt.. man muss nur zeigen das vor den vektoren eine linearkombination gibt?

$\begin{eqnarray*} 1\cdot (1,\ 2)-2\cdot (0,\ 1) = (1,0) \end{eqnarray*}$ stimmt doch.

Zitat:

Original von SoNii
Und Sie meinten :
"Darüber hinaus würden aber $\begin{eqnarray*} (2,\ 0),\ (1,\ 2) \end{eqnarray*}$ und unendlich andere auch gehen. $\begin{eqnarray*} (0,\ 1) \end{eqnarray*}$ ist halt schön einfach."
Also heist das, dass ich jede x beliebige zahl nehmen kann wenn die 0 oder die 1 dabei ist also z.b (0,5 ) ,(1,4) , (0,435) , (1,4242 ) . Zahlen sind jetz bissl übertrieben aber nur als verständnis nochmal Big Laugh

Naja schon. Aber wenn man sich diese Vektoren $\begin{eqnarray*} (1,\ 1),\ (2,\ 2),\ (3,\ 3) \end{eqnarray*}$ anschaut, dann sieht man, dass man mit diesen nur Vektoren der Art $\begin{eqnarray*} (x,\ x) \end{eqnarray*}$ erzeugen kann, wo also beide Einträge gleich sind.

Jeglicher Vektor, bei dem die beiden Einträge unterschiedlich sind, lässt sich nicht von den Vektoren $\begin{eqnarray*} (1,\ 1),\ (2,\ 2),\ (3,\ 3) \end{eqnarray*}$ erzeugen (/als Linearkombi schreiben).

Zitat:

Original von SoNii
und meine letzte frage an Sie wäre..Stimmt es das ab einer 3x4 Matrix die Vektoren immer linear abhängig sind?

Wenn ich das richtig verstehe, was du meinst, dann ja smile

14.02.2014, 21:37

SoNii

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Alles klar Vielen Dank !
Stimmt ich hatte mich oben verrechnnet die Rechnung passt schon Big Laugh

Und das mit den 3x4 matrix also damit meinte ich z.b
{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 2, 3)} : ohne die aufgabe zu rechnen weis man dass es abhäning ist, weil es eine 3x4 matrix ist Big Laugh

14.02.2014, 21:44

Mime

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ja, stimmt schon Freude

14.02.2014, 21:47

SoNii

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alles klar smile

danke nochmal =)

ein schönes Wochenende für dich noch Wink

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