Exponentialfunktionen: Keine Geldsorgen

15.02.2014, 11:52

Bonheur

Exponentialfunktionen: Keine Geldsorgen

In Dagoberts Geldspeicher (30 m hoch) liegen die Taler 20 m hoch. Die Zuwachsrate der Höhenfunktion h beträgt $\begin{eqnarray*} h'(t)=e^{-0,05t} \end{eqnarray*}$ (t: Tage,h'(t): m/Tag).

a) Wie lautet die Gleichung der Höhenfunktion?

b) Wann läuft Dagoberts Geldspeicher über?

Idee:

a) Stammfunktion bilden: $\begin{eqnarray*} h(t)=-\frac{1}{0,05} \cdot e^{-0,05t} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} h(30) \geq 30 \end{eqnarray*}$

Kann man das so aufschreiben ?

Vielen Dank

15.02.2014, 12:05

Anxiös

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RE: Keine Geldsorgen

Zitat:

Original von Bonheur
a) Stammfunktion bilden: $\begin{eqnarray*} h(t)=-\frac{1}{0,05} \cdot e^{-0,05t} \end{eqnarray*}$

stimmt fast: Die Konstante $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ fehlt noch.

Zitat:

Original von Bonheur
b) $\begin{eqnarray*} h(30) \geq 30 \end{eqnarray*}$

Kann man das so aufschreiben ?

ja fast: $\begin{eqnarray*} h(t) \ge 30\iff \dots \end{eqnarray*}$

15.02.2014, 12:15

Bonheur

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Ich komme nicht darauf.

$\begin{eqnarray*} h(t) \ge 30 \end{eqnarray*}$

Reicht das eigentlich nicht, wenn ich das aufschreibe ?

Denn wenn die Höhe von 30 m überschritten wird, dann passt Theoretisch kein Geld mehr rein oder muss man den genauen Zeitpunkt nennen ?

Wenn ja, $\begin{eqnarray*} 30=-\frac{1}{0,05} \cdot e^{-0,05t} \end{eqnarray*}$

Hier berechne ich quasi, wann der Geldspeicher quasi überlappt.

Und dann würde ich halt noch die Zeit für 20 m bestimmen und die Differenz bilden.

Ist dieser Gedankengang logisch und korrekt?

15.02.2014, 12:22

Anxiös

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Die allgemeine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} h' \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} h(t)=-\frac{1}{0,05} \cdot e^{-0,05t}+C \end{eqnarray*}$ .

Die Konstante $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ bestimmst du, in dem du die Höhe zum gegebenen Beobachtungszeitpunkt einsetzt.

Zitat:

Original von Bonheur
Denn wenn die Höhe von 30 m überschritten wird, dann passt Theoretisch kein Geld mehr rein oder muss man den genauen Zeitpunkt nennen ?

Ja genau es geht um den Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ , deshalb kannst du auch $\begin{eqnarray*} h(t) = 30\iff \dots \end{eqnarray*}$ rechnen.

15.02.2014, 12:27

Bonheur

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Verstehe.

$\begin{eqnarray*} 20=-\frac{1}{0,05}+C \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} 2=C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h(t)=-\frac{1}{0,05} \cdot e^{-0,05t}+2 \end{eqnarray*}$ .

Daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} 30=-\frac{1}{0,05} \cdot e^{-0,05t}+2 \end{eqnarray*}$

Bevor ich jetzt umstelle, stimmt es bis hierher?

15.02.2014, 12:34

Anxiös

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nicht ganz:

$\begin{eqnarray*} 20=-\frac{1}{0,05}+C\iff 20=-\frac{20}{1}+C \end{eqnarray*}$

15.02.2014, 12:37

Bonheur

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Ich kann deinen Weg nachvollziehen, aber warum komme ich auf ein falsches Ergebnis. Ich verstehe das nicht.

Es gilt doch: $\begin{eqnarray*} 20=-\frac{1}{0,05}+C \end{eqnarray*}$ .

Multipliziert mit 0,05 und addiert mit 1, komme ich auf 2.

Wie geht das?

15.02.2014, 12:45

Anxiös

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Da ist ein winziger Denkfehler drin: Wenn du mit $\begin{eqnarray*} 0,05 \end{eqnarray*}$ multiplizierst, siehts so aus:

$\begin{eqnarray*} 20=-\frac{1}{0,05}+C\ \iff\ 1=-1+0,05C \end{eqnarray*}$ (es werden ja alle Summanden mit $\begin{eqnarray*} 0,05 \end{eqnarray*}$ multiplizert)

Deshalb muss man nur $\begin{eqnarray*} 20=\frac{1}{0,05} \end{eqnarray*}$ auf beiden Seiten addieren, dann erhält man $\begin{eqnarray*} C= \end{eqnarray*}$ ? smile

15.02.2014, 12:54

Bonheur

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Wieder etwas dazu gelernt. smile

Zitat:

Original von Anxiös

$\begin{eqnarray*} 20=-\frac{1}{0,05}+C\ \iff\ 1=-1+0,05C \end{eqnarray*}$ (es werden ja alle Summanden mit $\begin{eqnarray*} 0,05 \end{eqnarray*}$ multiplizert)

$\begin{eqnarray*} C=40 \end{eqnarray*}$

Versuche jetzt das Gelernte umzusetzen. smile

$\begin{eqnarray*} 30=-\frac{1}{0,05} \cdot e^{-0,05t}+40 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}=-1 \cdot e^{-0,05t}+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}=-e^{-0,05t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln\left(\frac{1}{2}\right)=-0,05t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t=13,8629 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, dass das stimmt smile

15.02.2014, 13:00

Anxiös

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Zitat:

Original von Bonheur
Versuche jetzt das Gelernte umzusetzen. smile

Zitat:

Original von Bonheur
$\begin{eqnarray*} 30=-\frac{1}{0,05} \cdot e^{-0,05t}+40 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}=-1 \cdot e^{-0,05t}+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}=-e^{-0,05t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln\left(\frac{1}{2}\right)=-0,05t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t=13,8629 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, dass das stimmt smile

alles korrekt Freude

Also läuft am 13. Tag Dagoberts Geldspeicher über.

15.02.2014, 13:02

Bonheur

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Vielen Dank.

Du hast mir sehr geholfen. smile

15.02.2014, 13:20

Anxiös

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gern geschehen

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