Vektoranalysis, mathematische Frage zu einer Physikaufgabe

15.02.2014, 13:19	alex2007	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektoranalysis, mathematische Frage zu einer Physikaufgabe Gegeben ist eine Zylinderspule mit Radius R und Länge 2L, deren Achse mit der Z-Achse zusammenfällt. (Spulenmitte bei z=0). Die Stromdichte ist gegeben mit: $\begin{eqnarray} \vec{j}(\vec{x'} )= I n\delta \left(r'_T-R\right) \Theta \left(L - \| z' \| \right)\vec{e}_\phi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{e}_\phi =\begin{pmatrix} -\sin(\phi') \\ \cos(\phi') \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r'_T=\sqrt{(x')^2+(y')^2} \end{eqnarray}$ Aufgabe: Berechnen Sie das Magnetfeld auf der Spulenachse, d.h. für $\begin{eqnarray} \vec {x}=(0,0,z) \end{eqnarray}$ , mittels des Biot-Savart-Gesetzes! Hinweis: Benutzen Sie Zylinderkoordination, sowie $\begin{eqnarray} \int \frac {dx} {\left(a+x ^2\right)^{3/2} }=\frac {x}{a\sqrt{a+x^2}} \end{eqnarray}$ Lösung Biot-Savart-Gesetz: $\begin{eqnarray} \vec{B}(\vec{x} )= \frac {\mu_0}{4\pi}\int_V \vec{j}(\vec{x'}) \times \frac {\vec{x}-\vec{x'}}{\| \vec{x} -\vec{x'}\|^3} \, d^3x' \end{eqnarray}$ Durch Zylinderkoordinaten ist: $\begin{eqnarray} \vec{x'}=\begin{pmatrix} r'\cos(\phi') \\ r'\sin(\phi') \\ z' \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und damit gilt: $\begin{eqnarray} \vec{x} -\vec{x'}=\begin{pmatrix} -r'\cos(\phi') \\ -r\sin(\phi') \\ z-z' \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} r'_T=r' \end{eqnarray}$ Da bei der Stromdichte alles vor dem Einheitsvektor in Phi-Richtung nur skalar ist und der Betrag im Nenner auf der rechten Seite des Kreuzproduktes ebenfalls ein Skalar ist, brauch ich diese zur Kreuzproduktbildung nicht beachten. D.h. es läuft auf die Errechnung des Folgenden Kreuzproduktes hinaus: $\begin{eqnarray} \vec{e_\phi} \times \left(\vec{x}-\vec{x'}\right) =\begin{pmatrix} \cos(\phi') (z-z') \\ \sin(\phi')(z-z') \\ r' \end{pmatrix}= \vec{U} \end{eqnarray}$ Da der Rest der Stromdichte nur noch entweder Faktoren sind und durch die Delta-Distribution, bzw. die Heavyside-Funktion abhängen, brauch das alles bei der Integration nicht berücksichtigt werden. Der einzige außer dem Vektor U wichtige Term für die Integration ist der Betrag unter dem Nenner. Für ihn gilt: $\begin{eqnarray} \|\vec{x}-\vec{x'} \|^3=\left((r')^2+(z-z')^2\right)^{3/2} \end{eqnarray}$ Für die Integration in Zylinderkoordinaten gilt außerdem: $\begin{eqnarray} dV'=d^3r'= r'dr'd\phi'dz' \end{eqnarray}$ So, nun habe ich alle Zutaten und setze ein. Es folgt: $\begin{eqnarray} \vec{B}(0,0,z)= \frac{\mu_0}{4\pi}I n\delta \left(r'-R\right) \Theta \left(L - \| z' \| \right)\cdot\, \int_{-L}^{z'=L}\int_0^{\phi'=2\pi}\int_0^{r'=R}\frac {\vec{U}}{ \left((r')^2+(z-z')^2\right)^{3/2}}\,\,r'dr'd\phi'dz' \end{eqnarray}$ Fragen: Ist das bis hierhin erstmal richtig und nachvollziehbar? Ich denke ich muss jetzt jede Komponente von U einzeln integrieren um dann auf die jeweiligen Komponenten des B-Feldes zukommen, ja? Wie integriere ich das ganze? Die zu verwendende Relation sieht ja schonmal so aus, als könnte sie mir nützen, ergo kann ich bis hierhin nicht so falsch liegen. Das Problem was ich habe ist die Frage ob ich hier partielle Integration anwenden muss? Bspw. bei der Integration nach r' kann ich zwar direkt mit meiner gegeben Integrationsrelation arbeiten, aber das r' als Faktor dahinter mach das ganze ja zu einem Produkt, was eigentlich ja bedeutet partielle Integration. Ich bitte hier um einen Hinweis, bezüglich der weiteren Vorgehensweise! Vielen Dank im Vorraus!
15.02.2014, 14:10	alex2007	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir ist gerade aufgefallen, dass sich meine Integration vereinfacht, sodass ich nur die Z-Komponente des Vektors U betrachten muss. Es gilt nämlich: $\begin{eqnarray} \vec{U}= (z-z')\vec{e}_{r'}+r'\vec{e}_{z'}=(z-z')\vec{e}_{r'} +r'\vec{e}_{z} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_0^{2\pi}\vec{e}_{r'}d\phi=(0,0,0) \end{eqnarray}$ Demzufolge reduziert sich das Problem auf Folgendes: $\begin{eqnarray} \vec{B}(0,0,z)= \frac{\mu_0}{4\pi}I n\delta \left(r'-R\right) \Theta \left(L - \| z' \| \right)\cdot\, \int_{-L}^{z'=L}\int_0^{\phi'=2\pi}\int_0^{r'=R}\frac {\vec{U} \vec{e_z}}{ \left((r')^2+(z-z')^2\right)^{3/2}}\,\,r'dr'd\phi'dz' \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{B}(0,0,z)= \frac{\mu_0}{4\pi}I n\delta \left(r'-R\right) \Theta \left(L - \| z' \| \right)\cdot\, \int_{-L}^{z'=L}\int_0^{\phi'=2\pi}\int_0^{r'=R}\frac {(r')^2\vec{e_z}}{ \left((r')^2+(z-z')^2\right)^{3/2}}\,\,dr'd\phi'dz' \end{eqnarray}$ Bleibt die Frage, wie man nun das Integral am besten löst!
16.02.2014, 11:59	alex2007	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat keiner eine Idee, wie man das Integral nach dr' mit der gegeben Integralgleichungs als Hinweis löst? Die Integrale nach dz' und dphi' sollten nicht das Problem sein! Bin über jeden Tipp dankbar.
17.02.2014, 18:41	alex2007	Auf diesen Beitrag antworten »
Fehler gefunden!!! Die Heavisde- und die Deltafunktion dürfen im Integral nicht unberücksichtigt bleiben. Des Weiteren wird über den gesamten Raum integriert. Es gilt also: $\begin{eqnarray} \vec{B}(0,0,z)= \frac{\mu_0}{4\pi}I n\cdot\, \int_{-\infty} ^\infty \int_0^{2\pi}\int_{-\infty} ^\infty \delta \left(r'-R\right) \Theta \left(L - \| z' \| \right)\frac {(r')^2\vec{e_z}}{ \left((r')^2+(z-z')^2\right)^{3/2}}\,\,dr'd\phi'dz' \end{eqnarray}$ Für die Delta-Distribution gilt: $\begin{eqnarray} \int_{-\infty }^\infty \! \delta(x)f(x) \, dx =f(0) \end{eqnarray}$ In unserem Fall gilt: $\begin{eqnarray} \delta(x)=\delta(r'-R) \Rightarrow f(0)=f(r'=R) \end{eqnarray}$ In das Integral einsetzen, löst das erste Integral auf: $\begin{eqnarray} \vec{B}(0,0,z)= \frac{\mu_0}{4\pi}I n\cdot\, \int_{-\infty} ^\infty \int_0^{2\pi} \Theta \left(L - \| z' \| \right)\frac {(R)^2\vec{e_z}}{ \left(R^2+(z-z')^2\right)^{3/2}}\,\,d\phi'dz' \end{eqnarray}$ Der nächste Schritt ist die einfache Integration über den Winkel und das direkte Einsetzen der Integrationsgrenzen: $\begin{eqnarray} \vec{B}(0,0,z)= \frac{\mu_0}{2}I n\cdot\, \int_{-\infty} ^\infty \Theta \left(L - \| z' \| \right)\frac {(R)^2\vec{e_z}}{ \left(R^2+(z-z')^2\right)^{3/2}}\,dz' \end{eqnarray}$ Für die Heaviside-Funktion gilt: $\begin{eqnarray} \Theta(x)=1\quad \forall x\geq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Theta(x)=0\quad \forall x<0 \end{eqnarray}$ Demzufolge ändern sich hier meine Integrationsgrenzen, da für den Fall, dass die Heaviside-Funktion zu Null wird, auch das Integral verschwindet. Es gilt: $\begin{eqnarray} \vec{B}(0,0,z)= \frac{\mu_0}{2}I n\cdot\, \int_{z'=-L} ^L \frac {(R)^2\vec{e_z}}{ \left(R^2+(z-z')^2\right)^{3/2}}\,dz' \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{B}(0,0,z)= \frac{\mu_0}{2}I nR^2\vec{e}_z\cdot\, \int_{z'=-L} ^L \frac {1}{ \left(R^2+(z-z')^2\right)^{3/2}}\,dz' \end{eqnarray}$ Ich mache folgende Substitution: $\begin{eqnarray} z-z'=s \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac {ds}{dz'}=-1\quad \Rightarrow\,\,\,dz'=-ds \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{B}(0,0,z)= -\frac{\mu_0}{2}I nR^2\vec{e}_z\cdot\, \int_{z'=-L} ^L \frac {1}{ \left(R^2+s^2\right)^{3/2}}\,ds \end{eqnarray}$ Der Integrationshinweis gibt: $\begin{eqnarray} \vec{B}(0,0,z)= -\frac{\mu_0}{2}I nR^2\vec{e}_z\cdot\, \left[\frac{s}{R^2\sqrt{R^2+s^2}}\right]_{-L}^L \end{eqnarray}$ Resubstitution und Grenzen einsetzen liefert: $\begin{eqnarray} \vec{B}(0,0,z)= -\frac{\mu_0}{2}I n\vec{e}_z\cdot\, \left[\frac{z-L}{\sqrt{R^2+(z-L)^2}}-\frac{z+L}{\sqrt{R^2+(z+L)^2}}\right] \end{eqnarray}$ Wenn jetzt noch jemandem Fehler auffallen, bitte ich darum sie kund zu tun.

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