Definitionsmenge, Steigung, Flächeninhalt

15.02.2014, 13:59

Bonheur

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Definitionsmenge, Steigung, Flächeninhalt

Gegeben ist die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{2x}{\sqrt{4-x^{2}}} \end{eqnarray*}$ .

a) Geben sie die Definitionsmenge von f an.
b) Berechnen Sie die Steigung von f an der Stelle x=1.
c) Der Graph von f schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 ein Flächenstück ein. Bestimmen Sie dessen Inhlat.

Idee:

Was ist der Unterschied zwischen einem Definitionsbereich und einer Definitionsmenge ?

$\begin{eqnarray*} D_{f}=\left\{x \in \mathbb{R}|x>2\right\} \end{eqnarray*}$

Kann man das so formulieren ?

15.02.2014, 14:03

Nobundo

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RE: Definitionsmenge, Steigung, Flächeninhalt
Definitionsbereich oder Definitionsmenge soll das gleiche bedeuten. Aber was du angegeben hast stimmt nicht, denn zum einen was ist mit x=-2? Und ausserdem sucht man in der Regel nach einem maximalen Definitionsbereich, warum willst du zb x=1 nicht zulassen?

15.02.2014, 14:04

Mi_cha

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ne, denn das ist falsch smile

smile

es gilt $\begin{eqnarray*} D_{f}=\left\{ -2<x<2|x\in \mathbb R\right\} \end{eqnarray*}$

Zwischen Deffinitionsmenge und -bereich gibt es keinen Unterschied.

15.02.2014, 14:07

Nobundo

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Zitat:

Original von Mi_cha
ne, denn das ist falsch smile

smile

es gilt $\begin{eqnarray*} D_{f}=\left\{ -2<x<2|x\in \mathbb R\right\} \end{eqnarray*}$

Zwischen Deffinitionsmenge und -bereich gibt es keinen Unterschied.

Warum willst du x>2 nicht zulassen? oder x<-2?

15.02.2014, 14:10

Mi_cha

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für x>2 wird der Ausdruck unter der Wurzel negaitv, z.B. für x=3
$\begin{eqnarray*} \sqrt{4-3^{2} } =\sqrt{-5} \end{eqnarray*}$ .

Gleiches gilt für Ausdrücke <-2.

15.02.2014, 14:15

Bonheur

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Zitat:

Original von Mi_cha
für x>2 wird der Ausdruck unter der Wurzel negaitv, z.B. für x=3
$\begin{eqnarray*} \sqrt{4-3^{2} } =\sqrt{-5} \end{eqnarray*}$ .

Gleiches gilt für Ausdrücke <-2.

Das habe ich mir auch gedacht. Konnte das aber nicht Mathematisch formulieren.

Zitat:

Original von Mi_cha
ne, denn das ist falsch smile

es gilt $\begin{eqnarray*} D_{f}=\left\{ -2<x<2|x\in \mathbb R\right\} \end{eqnarray*}$

Zwischen Deffinitionsmenge und -bereich gibt es keinen Unterschied.

Die -2 habe ich gar nicht beachtet. Ich habe aber nochmal die Nennernullstellen bestimmt und es kommt tatsächlich auch -2 raus. Vielleicht war das der Knackpunkt. smile

smile

ok zu b) Hier muss ich ableiten oder?

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15.02.2014, 14:15

Nobundo

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Hammer

natürlich hast du recht, hab ich ja mal gar nicht gut aufgepasst, danke.

15.02.2014, 14:18

Mi_cha

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Zitat:

Original von Bonheur

ok zu b) Hier muss ich ableiten oder?

so ist es

15.02.2014, 14:29

Bonheur

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$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{2x}{\sqrt{4-x^{2}}} \end{eqnarray*}$ .

Nebenrechnung:

$\begin{eqnarray*} v(x)=\sqrt{4-x^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=4-x^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v(x)=\sqrt{z}=z^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v'(x)=\frac{1}{2} \cdot z^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2} \cdot \Big(4-x^{2}\Big)^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}} \end{eqnarray*}$

Habe ich einen Fehler bei der Nebenrechnung ?

15.02.2014, 14:32

Mi_cha

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ja, du hast das "Nachdifferentieren" vergessen.
Es gilt die Kettenregel, demnach muss auch das von dir substituierte "z" noch abgeleitet werden.

15.02.2014, 14:37

Bonheur

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$\begin{eqnarray*} z=4-x^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z'=-2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v'(x)=-2x \cdot \frac{1}{2} \cdot z^{-\frac{1}{2}}=-2x \cdot \frac{1}{2} \cdot \Big(4-x^{2}\Big)^{-\frac{1}{2}}=-2x \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}=\frac{-x}{\sqrt{4-x^{2}}} \end{eqnarray*}$

Stimmt es jetzt smile

smile

.

15.02.2014, 14:38

Mi_cha

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jetzt ist es richtig Freude

Freude

15.02.2014, 14:51

Bonheur

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$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{2x}{\sqrt{4-x^{2}}} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{\left(2 \cdot \sqrt{4-x^{2}}\right)-\left(\frac{-x}{\sqrt{4-x^{2}}} \cdot 2x\right)}{\Big(\sqrt{4-x^{2}}\Big)^{2}}=\frac{\left(\frac{-2x^{3}}{\sqrt{4-x^{2}}}\right)}{\sqrt{4-x^{2}}}= \end{eqnarray*}$

Stimmt es bis hierher ? Wer hat sich bloß solche Aufgaben ausgedacht pff^^

15.02.2014, 14:59

Mi_cha

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die letzte Umformung kann ich nicht nachvollziehen, sie sieht aber falsch aus.

Ich würde die Ableitung so schreiben:

$\begin{eqnarray*} \frac{2\sqrt{4-x^{2}}+\frac{2x^{2} }{\sqrt{4-x^{2} } } }{4-x^{2} } \end{eqnarray*}$

Du musst hier ja keine weiteren Ableitungen berechnen, weswegen eine Vereinfachung nicht unbedingt notwendig ist. Man sollte sich nur so viel Mühe damit geben, wie für die Aufgabe gefordert ist.

15.02.2014, 15:08

Bonheur

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Stimmt.

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{2\sqrt{4-x^{2}}+\frac{2x^{2} }{\sqrt{4-x^{2} } } }{4-x^{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(1)=\frac{8 \cdot \sqrt{3}}{9}=1,5396 \end{eqnarray*}$

so?

15.02.2014, 15:09

Mi_cha

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richtig

Freude

15.02.2014, 15:11

Bonheur

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zu c)

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^{1} \! f(x)~dx \end{eqnarray*}$

Stimmt dieser Ansatz?

15.02.2014, 15:14

Mi_cha

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ja, der stimmt

15.02.2014, 15:40

Bonheur

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$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{2x}{\sqrt{4-x^{2}}} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^{1} \! \frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}} \cdot 2x~dx= \end{eqnarray*}$

Nebenrechnung:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}~dx=\int \! \frac{1}{\sqrt{z}}~dx=\int \! \frac{1}{\sqrt{z}} \cdot \frac{dz}{-2x} =2 \cdot \sqrt{z} \cdot \Big(-2x\Big) =2 \cdot \sqrt{4-x^{2}} \cdot \Big(-2x\Big) \end{eqnarray*}$

Substituieren: $\begin{eqnarray*} z=4-x^{2} \end{eqnarray*}$ ---> $\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dx}=-2x =>\frac{dz}{-2x}=dx \end{eqnarray*}$

Stimmt diese Nebenrechnung?

15.02.2014, 15:48

Mi_cha

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im letzten Teil muss $\begin{eqnarray*} (-2x) \end{eqnarray*}$ in den Nenner, sodass bei deiner Nebenrechnung herauskommt:

$\begin{eqnarray*} -\frac{\sqrt{4-x^{2} } }{x} \end{eqnarray*}$

15.02.2014, 15:59

Bonheur

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Stimmt.

smile

$\begin{eqnarray*} \int\! \frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}} \cdot 2x~dx=-\frac{\sqrt{4-x^{2} } }{x} \cdot 2x-\left(\int \! -\frac{\sqrt{4-x^{2} } }{x} \cdot 2\right)~dx \end{eqnarray*}$

Nebenrechnung:

$\begin{eqnarray*} \left(2 \cdot \int \! -\frac{\sqrt{4-x^{2} } }{x}\right)~dx=2 \cdot ln\left(\frac{\sqrt{4-x^{2}}-2}{|x|}\right) + \sqrt{4-x^{2}} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt: Schlussendlich:
$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}} \cdot 2x~dx=-\frac{\sqrt{4-x^{2} } }{x} \cdot 2x-2 \cdot ln\left(\frac{\sqrt{4-x^{2}}-2}{|x|}\right) + \sqrt{4-x^{2}} \end{eqnarray*}$

Wie soll ich da die eins einsetzen ? Hahaha. Kann es sein, dass dieses Integral annormal ist ?

15.02.2014, 16:02

Mi_cha

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ne, das stimmt nicht. Zu deinem Zwischenergebnis musst du eigenltich nur noch die 2x aus dem Zähler multiplizieren, so dass sich - nach dem Kürzen - folgendes ergibt:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{2x}{\sqrt{4-x^{2} } } \, dx = -2\sqrt{4-x^{2} } \end{eqnarray*}$

[ich vermute, du hast partielle Int. mit Int. durch Substitution durcheinandergebracht. Anders kann ich mir das zweite Integral in deiner ersten Zeile nicht erklären]

Die Grenzen einsetzen, ausrechnen und hoffentlich $\begin{eqnarray*} 4-2\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ als Ergebnis erhalten.

Bin nun weg. Ich hoffe, du kommst damit zurecht. Sonst wird ein anderer helfen.

15.02.2014, 16:09

Bonheur

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Ich verstehe leider nicht, wie du darauf gekommen bist. Meine Stammfunktion ähnelt deiner Funktion keineswegs unglücklich

unglücklich

.

Wo sind meine Denkfehler?

15.02.2014, 16:17

Equester

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Hi Bonheur, ich mache mal für Mi_cha weiter.

Die partielle Integration habe ich mir jetzt nicht angeschaut. Das ist ohnehin nicht der Weg der einem als erstes ins Blickfeld geraten sollte. Auch bei dir hast du ja mit der Substitution begonnen. Das war richtig.

Ich würde die 2x im Zähler lassen. Warum extra setzen? (Ist zwar letztlich egal, aber...)

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^{1} \! \frac{2x}{\sqrt{4-x^{2}}}~dx= \end{eqnarray*}$

Nun hast du folgende (richtige) Substitution angegeben:

$\begin{eqnarray*} z=4-x^{2}\to\frac{dz}{dx}=-2x \to\frac{dz}{-2x}=dx \end{eqnarray*}$

Setze das nun in die Integration ein. Beachte, dass eine Substitution nur dann sinnvoll abgeschlossen ist, wenn du die ursprüngliche Variable (hier x) komplett durch z ersetzt hast!

Edit: Sry, war ne kurze Hilfe. Werde nun selbst abgezogen. Aber mit dem Tipp solltest du es bis zum Ende schaffen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.02.2014, 16:24

Bonheur

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Hi Equester. smile

smile

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^{1} \! \frac{2x}{\sqrt{4-x^{2}}}~dx=\int\limits_0^{1} \! \frac{2x}{\sqrt{z}}~\frac{dz}{-2x}=\int\limits_0^{1} \! \frac{1}{\sqrt{z}} \cdot dz= \end{eqnarray*}$

Wenn ich keinen Fehler gemacht habe, dann weiß ich warum man nun die partielle Integration nicht anwenden muss. Da sich -2x rauskürzt, erübrigt sich die partielle Integration und ich kann den einfacheren Weg benutzen oder?

15.02.2014, 16:27

Equester

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Genauso ist es. Das ist auch das Ziel und der Sinn der Substitution Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
Integriere nun und resubstituiere.

Unschön sind übrigens deine Grenzen. Du hast substituiert. Lass während diesem Vorgang die Grenzen weg oder substituiere sie mit (braucht dann keine Resubstitution). Ich selbst nutze zumeist die erste Variante -> Grenzen weglassen, dann resubstituieren Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Bin aber nun leider schon wieder weg :/. Abkommandiert. Du kommst von hier alleine weitere? Schaue später wieder rein smile

smile

.

15.02.2014, 16:28

Bonheur

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Joa. Ich komme nun alleine zurecht. smile

smile

Vielen Dank euch beiden

Und ich wünsche euch einen Schönen Tag noch smile

smile

Wink

15.02.2014, 19:42

Equester

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Gerne und gleichfalls,

Wink

Wink

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