Exponentialfunktion: Hochseilartistik

15.02.2014, 18:10

Bonheur

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Exponentialfunktion: Hochseilartistik

Eine Gruppe von Hochseilartisten spannt ein Stahlseil zwischen zwei senkrechten Masten, die 400 m voneinander entfernt sind. Der Verlauf des Stahlseils wird beschrieben durch die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=5 \cdot \left(e^{0,01x}+e^{-0,01x}\right) \end{eqnarray*}$ .

a) Welche Höhe hat das Seil in der Mitte bzw. in den Randpunkten ?
b) Welche durchschnittliche Steigung bewältigt ein Artist bei der Fahrt von der Mitte des Seils zu einem der Randpunkte?
c)Der jüngste Mitglied der Artistengruppe Steigungen bis zu maximal 20 % bewältigen. Kann er die mittlere Hälfte des Seils befahren?
d) An ihren Spitzen sollen die Maste durch Halteseile gesichert werden, die orthogonal zur Tangente an das Stahlseil an der Mastspitze verankert werden. Berechnen Sie die notwendige Länge der Sicherungsseile.

[attach]33237[/attach]

Idee: Wenn nach der Höhe des Seils in der Mitte gefragt ist, braucht man wahrscheinlich den y-Achsenabschnitt, welches man mit: $\begin{eqnarray*} y=f(0) \end{eqnarray*}$ berechnet. An der Abbildung erkennt man allerdings auch, dass die Höhe bei $\begin{eqnarray*} f(200) \end{eqnarray*}$ gefragt ist. Aufgrund der Symmetrie braucht man nur den einen Wert der Randpunkte zu bestimmen, weil sie identisch sind.
Die durchschnittliche Steigung ergibt sich aus dem Differenzenquotienten. Zu c) und d) brauche ich bissel Denkansätze^^

Vielen Dank

15.02.2014, 18:17

10001000Nick1

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c)
Damit der Artist an einer bestimmten Stelle fahren kann, muss dort der Anstieg kleiner/gleich 0,2 sein. Du musst jetzt überprüfen, ob das für den genannten Abschnitt des Seils überall der Fall ist.

d)
Hier musst du den Punkt berechnen, an dem das Sicherungsseil am Boden festgemacht ist. Dazu kannst du die Gleichung der Geraden bestimmen, die das Sicherungsseil beschreibt. Und dazu brauchst du erstmal die Steigung des Stahlseils an der entsprechenden Stelle. Das Sicherungsseil soll ja orthogonal dazu sein, d.h. du kannst damit dann auch den Anstieg des Sicherungsseils berechnen.

15.02.2014, 18:29

Bonheur

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Und die Steigung ergibt sich über die Ableitung:

$\begin{eqnarray*} f(x)=5 \cdot \left(e^{0,01x}+e^{-0,01x}\right) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0,01x}-e^{-0,01x}\right) \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, dass ich richtig abgeleitet habe.

Muss ich jetzt $\begin{eqnarray*} f'(100) \end{eqnarray*}$ und wenn etwas unter 0,2 rauskommt, dann schafft er es oder?

15.02.2014, 18:36

10001000Nick1

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Ich habe eine andere Ableitung.

Wenn du nur $\begin{eqnarray*} f'(100) \end{eqnarray*}$ berechnest, musst du noch begründen, warum es reicht, diesen Wert zu berechnen. Denn theoretisch könnte ja der maximale Anstieg auch an einer anderen Stelle sein.

15.02.2014, 18:45

Bonheur

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$\begin{eqnarray*} f(x)=5 \cdot \left(e^{0,01x}+e^{-0,01x}\right)=5 \cdot e^{0,01x} +5 \cdot e^{-0,01x} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} f'(x)=0,05 \cdot \left(e^{0,01x}-e^{-0,01x}\right) \end{eqnarray*}$

Jetzt muss die Ableitung stimmen smile

smile

.

Begründung:

Wenn er sich der Mitte annähert, dann sinkt die Steigung. Allerdings beginnt er schon am Anfang, da wo die Steigung höher als 20 % beträgt und aus diesem Grund schafft er das nicht.

oder?

15.02.2014, 18:52

10001000Nick1

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Jetzt ist die Ableitung richtig.

Es stimmt, dass die Steigung betragsmäßig immer kleiner wird, je näher man zur Mitte kommt. Anders gesagt ist die Steigung betragsmäßig umso größer, je weiter man außern ist. Deswegen reicht es den äußersten Punkt zu betrachten, um den maximalen Anstieg zu berechnen.
Müsst ihr das eigentlich rechnerisch begründen, oder reicht es, wenn man das aus der Zeichung abliest?

Und wieso sollte die Steigung an der Stelle x=100 größer als 0,2 sein? Ich komme auf 0,117.

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15.02.2014, 18:58

Bonheur

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Eigentlich wollte ich schreiben, dass er es schafft, aber dann habe ich mir nochmal die Aufgabenstellung durchgelesen und da stand, dass man quasi nicht schummelt und bei den Randpunkten beginnt und aus diesem Grund, wollte ich $\begin{eqnarray*} f'(100) \end{eqnarray*}$ betrachten.
Da ich aber nun verstanden habe, welches gemeint war, müsste ich mir die Steigung an den Randpunkten ansehen und dann festlegen, ob er es schafft, aber bin mir relativ sicher, dass er es nicht schafft.

$\begin{eqnarray*} f'(200)=0,362 \end{eqnarray*}$

Die Steigung ist schon relativ hoch am Randpunkt: 36,2 % smile

smile

Muss ich bei c) die Orthogonale im Punkt (200|f(200)) bestimmen?

15.02.2014, 19:01

10001000Nick1

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Aber es wird doch gefragt, ob er die mittlere Hälfte befahren kann. D.h. man muss doch eigentlich nur überprüfen, ob der Anstieg für $\begin{eqnarray*} -100\leq x\leq 100 \end{eqnarray*}$ überall kleiner/gleich 0,2 ist.

Wenn du d) meinst: Ja, da bestimmst du die Gleichung der Orthogonalen in diesem Punkt.

15.02.2014, 19:06

Bonheur

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Aso

smile

.

Ja, dann schafft er es. Die Steigung bei $\begin{eqnarray*} f(100)=0,11752 \to 11,7 % \end{eqnarray*}$ . Da die Funktion Achsensymmetrisch gilt es auch für die andere Mitte und da die Steigung betragsmäßig immer abnimmt, schafft er das oder?

Das mit der Orthogonale gehört zu d) smile

smile

Habe ausversehn c) geschrieben^^

Stimmt es bishier?

15.02.2014, 19:09

10001000Nick1

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Ich denke, das stimmt so.

15.02.2014, 19:19

Bonheur

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$\begin{eqnarray*} T(x)=m \cdot (x-x_0)+y_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T(x)=f'(200) \cdot (x-200)+f(200) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T(x)=0,362686x-34,9153 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m_2=-\frac{1}{m_1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m_2=-\frac{1}{0,362686} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_o(x)=-\frac{1}{0,362686}x-34,9153 \end{eqnarray*}$

Jetzt würde ich die Nullstelle bestimmen und die Differenz bilden.

Ist der Gedankengang und die Rechnung richtig?

15.02.2014, 19:28

10001000Nick1

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Die Tangentengleichung stimmt (die hättest du aber gar nicht gebraucht; es reicht, den Anstieg, also f'(200), zu berechnen).

Der Anstieg der Orthogonalen ist auch richtig. Aber da ändert sich natürlich der y-Achsenabschnitt. Den musst du noch berechnen.

15.02.2014, 19:36

Bonheur

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$\begin{eqnarray*} T_o(x)=-2,75721 \cdot x+589,063 \end{eqnarray*}$

Das muss dieses mal stimmen. Sorry, dass ich so viele Fehler mache, mache seit ungefähr 10 Uhr Mathe ohne Pause. smile

smile

$\begin{eqnarray*} T_o(x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2,75721 \cdot x+589,063=0 \to x=213,645 \end{eqnarray*}$

Jetzt muss es aber stimmen oder?

15.02.2014, 19:40

10001000Nick1

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Die Nullstelle stimmt.
Jetzt weißt du also, von wo nach wo das Sicherungsseil gespannt ist. Jetzt kannst du die Länge bestimmen.

Zitat:

Original von Bonheur
Sorry, dass ich so viele Fehler mache, mache seit ungefähr 10 Uhr Mathe ohne Pause. smile

smile

Kein Problem; ich kenne das auch: nach zu viel Mathe geht nichts mehr. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.02.2014, 19:44

Bonheur

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$\begin{eqnarray*} f(213,645)=42,937=h_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(200)=37,622=h_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h_{Laenge}=h_1-h_2=42,937-37,622=5,315 \end{eqnarray*}$

So smile

smile

oder?

15.02.2014, 19:51

10001000Nick1

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Was machst du denn da? smile

smile

Das Stahlseil geht doch nur bis x=200, du berechnest aber f(213,645).
Du hast folgendes berechnet: Wenn man das Seil eben noch verlängern würde bis x=213,645 (immer noch beschrieben durch die Funktion f), dann ist 5,315 der Höhenunterschied zwischen den beiden Punkten auf dem Seil, einmal bei x=200 und einmal bei x=213,645.

Du hast ja zwei Punkte, zwischen denen das Seil gespannt ist: $\begin{eqnarray*} (200; f(200)), (213,645; 0). \end{eqnarray*}$ Weißt du, wie man den Abstand dieser beiden Punkte berechnen kann?

15.02.2014, 19:53

Bonheur

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Aso.

Big Laugh

Leider weiß ich nicht, wie man die Länge bestimmt. Vielleicht Satz des Pythagoras oder?

15.02.2014, 19:54

10001000Nick1

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Genau so macht man das.

15.02.2014, 20:00

Bonheur

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Ich versuche das mal umzusetzen.

Zuerst brauchen wir die Differenz von $\begin{eqnarray*} x_2-x_1 \end{eqnarray*}$ , welches ergibt, dass unsere erste Länge $\begin{eqnarray*} 13,645 \end{eqnarray*}$ beträgt. Nun brauchen wir den Funktionswert $\begin{eqnarray*} f(200) \end{eqnarray*}$ , damit wir quasi die Höhe des Dreiecks haben, welches $\begin{eqnarray*} 37,622 \end{eqnarray*}$ ergibt.

Daraus kann man folgenden Ansatz herleiten: $\begin{eqnarray*} a_{Laenge}=\sqrt{37,622+13,645} \end{eqnarray*}$

Hoffentlich stimmt es dieses mal smile

smile

^^

15.02.2014, 20:04

10001000Nick1

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So ähnlich. Aber beim Satz des Pythagoras war doch noch irgendwas mit Quadrieren. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.02.2014, 20:06

Bonheur

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$\begin{eqnarray*} a_{Laenge}=\sqrt{37,622^{2}+13,645^{2}}=40,02 \end{eqnarray*}$

Jetzt stimmt es oder? smile

smile

15.02.2014, 20:07

10001000Nick1

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Ja, jetzt ist es richtig. Freude

Freude

15.02.2014, 20:09

Bonheur

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Endlich.

smile

Ich mache jetzt Pause, mache so um 9.30 Uhr weiter smile

smile

Vielen Dank Nick ; Ich habe eine Menge dazu gelernt smile

smile

.

Freude

Ich wünsche dir noch eine schöne Nacht smile

smile

15.02.2014, 20:10

10001000Nick1

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Schön, dass du es verstanden hast. Die Pause hast du dir jetzt verdient. smile

smile

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