Stetigkeit

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martinio Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit
Hallo,

ich habe hier zwei Aufgaben:

Aufgabe 1
Betrachten Sie die beiden reelen Funktionen , die durch und gegeben sind.

Bestimmen Sie alle reelen Zahlen a für die Funktion



Idee
Damit die Funktion stetig ist muss sie "durchziehbar sein, ohne den Stift abzusetzen". bzw. muss für jeden Punkt der Grenzwert dem Funktionswert an dieser Stelle entsprechen : . Da es sich um eine Zusammensetzung zweier reeler Funktionen f , g (genauer Polynome 1. und 2. Grades) handelt, welche per Annahme stetig sind , müssen nun noch die Schnittpunkte beider Funktionen gefunden werden. Die x Werte dieser SP bilden dann gesuchte a-Werte.

Evtl. müsste man noch links- und rechtsseitger Grenzwerte gegen den Wert a gebildet werden, wenn diese übereinstimmen ist stetig auf dem gesamten Intervall. Aber könnte man auch weglassen, da die Funktionen f und g ansich auch durch diesen Punkt verlaufen / stetig fortsetzbar wären (?).

Erstmal soweit.
Könnte sich jmd. dazu mal äußern ? smile
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, du liegst richtig. Du berechnest die Schnittstelle(n), und das sind dann die möglichen Werte für a.

Zitat:
Original von martinio
Evtl. müsste man noch links- und rechtsseitger Grenzwerte gegen den Wert a gebildet werden, wenn diese übereinstimmen ist stetig auf dem gesamten Intervall. Aber könnte man auch weglassen, da die Funktionen f und g ansich auch durch diesen Punkt verlaufen / stetig fortsetzbar wären (?).

Das kann man wirklich weglassen, denn da f und g stetig sind, ist automatisch , falls a eine Schnittstelle von f und g ist.

Außerdem sind das reelle Funktionen und Zahlen. smile
martinio Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Nick ,

vielen Dank! Das hilft mir weiter und ja : reelle Freude

Zudem verstehe ich seit heute

Zitat:


smile .. das motiviert !

Viele Grüße und Gute Nacht
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich sollte auf der rechten Seite ein noch einfacherer Term stehen, war aber zu lang und hat da nicht mehr hingepasst.
Das Ganze ist übrigens nur eine Vereinfachung von 1+1=2. Siehe hier.
Mir gefällt diese Gleichung sehr gut. Big Laugh


Jetzt habe ich doch da tatsächlich noch einen Fehler entdeckt:
Dort steht
Es muss natürlich heißen.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Überlegungen sind m. E. richtig.
Im Schnittpunkt der beiden Funktionen wird deren Stegigkeit auf die abschnittsweise definierte dritte Funktion vererbt. Dass der Grenzwert mit dem Funktionswert identisch ist, ist ohne Weiteres klar ersichtlich.
Der Grenzwert lässt sich aber leicht errechnen.



Übrigens: Reell wird mit Doppel-l geschrieben.

mY+

EDIT: Na, da habe ich mir beim Schreiben nächtens während des TV-Guckens ( --> "Elementary", übrigens sehr zu empfehlen!) tatsächlich zu viel Zeit gelassen!
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Na, da habe ich mir beim Schreiben nächtens während des TV-Guckens ( --> "Elementary", übrigens sehr zu empfehlen!) tatsächlich zu viel Zeit gelassen!

Ich bin gerade bei DSDS, da hat man wenigstens was zum Lachen! (was besseres kommt auch gerade nicht)
Da fällt mir gerade was ein: Was kommt raus, wenn man "Der Bachelor", "DSDS" und "Ich bin ein Star, holt mich hier raus" mixt? Ein kakerlakenfressender Macho, der nicht singen kann ... Oh, der Wendler! Big Laugh
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Der war gut! Big Laugh
martinio Auf diesen Beitrag antworten »

Grüße Euch!

Scheint ja noch spanennd geworden zu sein Augenzwinkern

Hab noch eine Frage: Die Funktion soll auf Stetigkeit untersucht werden. Meine erste Idee:

Lt. Vorlesung sind Verkettungen\Kompositionen von stetigen Funktionen wieder auf ihrem Definitionsbereich stetig. Die o.g. Funktion ließe sich als eine solche auffassen :

,
Lt. Vorlesung ist der Cos eine stetige Funktion auf R. Eine Hyperbel 1/x ist eine rationale Fkt. welche lt. Vorlesung ebenfalls steitg auf ihrem Defintionsbereich ist.

Da es sich bei der Verkettung wieder um eine Hyperbel handelt, bei der der Nenner nicht Null werden darf, muss ich erstmal alle Punkte die erfüllen ausschließen. Bin dann zu folgendem Ergebnis gekommen:



Wie bekomme ich den Komplementstrich "\" im Editor hin?

Ja und dann? Wäre ich nicht schon am Ende angelangt?
martinio Auf diesen Beitrag antworten »

Hier noch ein paar "durchgerechnete" Aufgaben , bei denen ich nicht weiß, ob ich es richtig gemacht habe smile


ist stetig auf


ist stetig auf
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

So weit ok.
Aber warum darf x bei f1(x) nicht gleich2 sein?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von martinio
Bin dann zu folgendem Ergebnis gekommen:




Du solltest aber noch etwas ergänzen:



Zitat:
Original von martinio
Wie bekomme ich den Komplementstrich "\" im Editor hin?

Mit \setminus:
martinio Auf diesen Beitrag antworten »

Hey , danke für die Antwort(en) !

Sry wieder mal ein Flüchtigkeitsfehler :

mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 10001000Nick1
...
Zitat:
Original von martinio
Wie bekomme ich den Komplementstrich "\" im Editor hin?

Mit \setminus:

oder einfach mit \backslash -->

mY+
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