Exponentialfunktion: St. Louis Gateway-Arch

16.02.2014, 11:43

Bonheur

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Exponentialfunktion: St. Louis Gateway-Arch

In St.Louis steht der Gateway-Arch. Er hat die Gestalt einer umgekehrten Kettenlinie, die den stabilsten aller Tragebögen darstellt. Die äußere Randkurve ist 180 m hoch und an der Basis 180 m breit. Die innere Randkurve ist 175 m hoch und an der Basis 150 m breit. Die Gleichungen der Randkurven können jeweils in der Form

$\begin{eqnarray*} f(x)=b- \frac{a}{2} \cdot \Big(e^{\frac{x}{a}}+e^{\frac{-x}{a}}\Big) \end{eqnarray*}$ modelliert werden:

Äußere Kurve: a=36,5 und b=216,5
Innere Kurve: a=28,14 und b=203,14

a) In welcher Höhe beträgt der Abstand der beiden inneren Bogenseiten 100 m?
b) Unter welchem Winkel trifft der äußere Bogen auf den Boden?
c) Der Winddruck auf den Bogen wird durch die Fläche zwischen den Randkurven bestimmt. Wie groß ist der Inhalt dieser Fläche?

Idee:

Erstmal zu a)

Bei a) würde ich erst die Werte der inneren Kurve für a und b einsetzen und $\begin{eqnarray*} f(100) \end{eqnarray*}$ untersuchen.

Vielen Dank ^^

16.02.2014, 12:01

Mi_cha

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stell dir die beiden Kurven so vor, dass die Mitte der Basen im Ursprung eines Koordinatensystems liegen. Die Kurven sind achsensymmetrisch.

zu a) man muss also $\begin{eqnarray*} f(50) \end{eqnarray*}$ berechnen

16.02.2014, 12:08

Bonheur

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[attach]33245[/attach]

Wie kann es sein, dass der Hochpunkt bei ungefähr 177 m liegt, obwohl in der Aufgabe steht, dass die äußere Randkurve 180 m hoch sein muss. Und wieso ist die Innere Kurve größer als die äußere ? verwirrt

verwirrt

16.02.2014, 12:11

Mi_cha

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bei der grünen Kurve hast du vergessen $\begin{eqnarray*} \frac{a}{2} \end{eqnarray*}$ zu bilden und es muss 216,5 am Anfang heißen.

16.02.2014, 12:16

Bonheur

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Ahh ja.

smile

Nun fällt mir auch eine Idee bei a) ein. Wenn der Graph Achsensymmetrisch ist, muss man doch eigentlich nur gucken, wo die Höhe 50 m beträgt oder?

$\begin{eqnarray*} 50=f(x) \end{eqnarray*}$

Kann das sein?

Edit:

Nein doch nicht, dass ergibt kein Sinn, dann hätte man "ja" schon die Höhe.

$\begin{eqnarray*} f(50) \end{eqnarray*}$

16.02.2014, 12:20

Mi_cha

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wenn du $\begin{eqnarray*} f(x)=50 \end{eqnarray*}$ berechnen willst, erhält du die x-Werte, an denen der Bogen eine Höhe von 50 m hat. Das ist aber nicht gesucht.
Man muss $\begin{eqnarray*} f(50) \end{eqnarray*}$ berechnen.

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16.02.2014, 12:21

Bonheur

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Ja. Habe meinen Beitrag editiert, weil ich gerade genau den Gedanken hatte. Es macht keinen Sinn f(x)=50 zu untersuchen, weil man dann die Höhe schon hätte.

$\begin{eqnarray*} f(50)=117,591 \end{eqnarray*}$

In einer Höhe von 117,591 m beträgt der Abstand der beiden Bogenseiten 100 m.

oder?

16.02.2014, 12:25

Mi_cha

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das habe ich auch raus.

16.02.2014, 12:30

Bonheur

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Juhu Danke smile

smile

.

Nun zu b)

$\begin{eqnarray*} f(x)=216,5- \frac{36,5}{2} \cdot \Big(e^{\frac{x}{36,5}}+e^{\frac{-x}{36,5}}\Big) \end{eqnarray*}$

Hier braucht man die Nullstellen.

$\begin{eqnarray*} 216,5- \frac{36,5}{2} \cdot \Big(e^{\frac{x}{36,5}}+e^{\frac{-x}{36,5}}\Big)=0 \to x=90 \end{eqnarray*}$

Da man allerdings weiß, dass der Abstand der beiden Bogenseiten 180 m beträgt, muss man eigentlich nur $\begin{eqnarray*} \frac{180}{2}=90 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt braucht man die Steigung oder?

16.02.2014, 12:32

Mi_cha

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die Berechnung der Nullstellen hättest du dir sparen können, das geht schon aus der Symmetrie und dem Abstand von 180m hervor smile

smile

Man braucht die Steigung, oder besser sogar die Tangente bei x=90.

16.02.2014, 12:35

Bonheur

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Zitat:

Original von Mi_cha
die Berechnung der Nullstellen hättest du dir sparen können, das geht schon aus der Symmetrie und dem Abstand von 180m hervor smile

smile

Genau so habe ich das gemacht. smile

smile

$\begin{eqnarray*} f(x)=216,5- \frac{36,5}{2} \cdot \Big(e^{\frac{x}{36,5}}+e^{\frac{-x}{36,5}}\Big) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=-0,5 \cdot \Big(e^{\frac{x}{36,5}}+e^{\frac{-x}{36,5}}\Big) \end{eqnarray*}$

Stimmt die Ableitung?

16.02.2014, 12:38

Mi_cha

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nicht ganz, denn bei der zweiten e-Funktion steht in Minus im Exponenten.

$\begin{eqnarray*} f'(x)= -0,5e^{\frac{x}{36,5} }+0,5e^{\frac{-x}{36,5} } \end{eqnarray*}$

16.02.2014, 12:43

Bonheur

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Ah ja.

$\begin{eqnarray*} f'(x)=-0,5 \cdot \Big(e^{\frac{x}{36,5}}-e^{\frac{-x}{36,5}}\Big) \end{eqnarray*}$

Jetzt muss die Ableitung aber stimmen. smile

smile

$\begin{eqnarray*} f'(90)=-5,8437 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} tan^{-1}-5,8437=m \to -80,2894 \end{eqnarray*}$

Der Ergänzungswinkel wäre in dem Fall $\begin{eqnarray*} 180-80,2894=99,7106 \end{eqnarray*}$

Welchen Winkel braucht man aber nun ? verwirrt

verwirrt

16.02.2014, 12:49

Mi_cha

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die Steigung stimmt, der Winkel beträgt ca. 80,3°.

Wenn man die Tangentengleichung aufstellt $\begin{eqnarray*} t(x)=-5,84x+525 \end{eqnarray*}$ [gerundet], kann man im rechtwinkligen Dreieck mit den Ecken $\begin{eqnarray*} (0|0), (90|0), (0|525) \end{eqnarray*}$ den Winkel berechnen.

16.02.2014, 12:57

Bonheur

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Ich habe mir eine Skizze gemacht.

$\begin{eqnarray*} tan~\alpha=\frac{525}{90} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} tan^{-1}\left(\frac{35}{6}\right)=\alpha \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 80,2724=\alpha \end{eqnarray*}$

Ich habe eine Verständnisfrage. Hätte man eigentlich auch den Ergänzungswinkel mit 180 Grad subtrahieren können, weil ich komme da auf das gleiche Ergebnis.

$\begin{eqnarray*} 180-99,7106=80,2894 \end{eqnarray*}$

Bloß eine minimale Abweichung. verwirrt

verwirrt

16.02.2014, 13:03

Mi_cha

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im Grunde ja, allerdings hast du den Ergänzungswinkel doch erst zu dem Winkel eigentlichen Winkel berechnet. Oder sehe ich das gerade falsch ?!

Mit einer kurzen Skizze kommt man meistens auf den richtigen Dampfer.

16.02.2014, 13:08

Bonheur

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Ah ok. Verstanden. smile

smile

Man hätte Theoretisch auch die Beträge nehmen können oder?

ok. zur letzten Aufgabe^^

Ist hier diese Fläche gesucht ?

[attach]33247[/attach]

16.02.2014, 13:10

Mi_cha

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genau diese ist gesucht.
Man kann sich das Leben etwas leichter machen und nur die rechte Seite betrachten, denn die gesuchten Flächen links und rechts der y-Achse sind ja gleich groß.

16.02.2014, 13:14

Bonheur

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Verstehe.

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \int\limits_{0}^{90}~f_{Aeßere}(x)-g_{Innere}(x)~dx \end{eqnarray*}$

So hier?

16.02.2014, 13:20

Mi_cha

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nicht ganz, denn beide Integrale haben unterschiedliche "Endpnkte"

$\begin{eqnarray*} 2(\int_0^{90} \! f_{außen} \, dx -\int_0^{75} \! g_{innen} \, dx) \end{eqnarray*}$

16.02.2014, 13:34

Bonheur

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Stimmt. Daran habe ich gar nicht gedacht.

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot\left(\int_0^{90} \! f(x) \, dx -\int_0^{75} \! g(x) ~ dx\right) =2\cdot \left(\left(\left[216,5x-666,125 \cdot \Big(e^{\frac{x}{36,5}}-e^{\frac{-x}{36,5}}\Big)\right]_0^{90}\right)-\left(\left[203,14x-395,93 \cdot \Big(e^{\frac{x}{28,14}}-e^{\frac{-x}{28,14}}\Big)\right]_0^{75}\right)\right) \end{eqnarray*}$

Stimmt es bis hierher?

16.02.2014, 13:47

Mi_cha

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sieht ganz gut aus

16.02.2014, 13:55

Bonheur

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$\begin{eqnarray*} 2 \cdot\left(\int_0^{90} \! f(x) \, dx -\int_0^{75} \! g(x) ~ dx\right) =2\cdot \left(\left(\left[216,5x-666,125 \cdot \Big(e^{\frac{x}{36,5}}-e^{\frac{-x}{36,5}}\Big)\right]_0^{90}\right)-\left(\left[203,14x-395,93 \cdot \Big(e^{\frac{x}{28,14}}-e^{\frac{-x}{28,14}}\Big)\right]_0^{75}\right)\right)=2 \cdot \left(11699,7-9572,95\right)=4253,5 \end{eqnarray*}$

So smile

smile

Ist das Richtig ? ^^

16.02.2014, 13:59

Mi_cha

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ich würde sagen, ja Freude

Freude

16.02.2014, 14:01

Bonheur

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Juhu

smile

Vielen Dank Micha Ich habe eine Menge dazu gelernt smile

smile

Wink

16.02.2014, 14:06

Mi_cha

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Keine Ursache, gern geschehen. Wink

Wink

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