Beschränktheit von Folgen

16.02.2014, 11:48

Mina08

Beschränktheit von Folgen

Meine Frage:
Hallo Zusammen,

es gibt ein Aufgabentyp den ich nie verstehe, ich hoffe ihr könnt mir dabei helfen und erklären wie man allgemein vorgeht, damit ich es endlich verstehen kann...

Die Folge an ist definiert durch a1=2 und an+1= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*(an+\frac{3}{an} ) \end{eqnarray*}$ . Ich muss hier die Monotonie und Beschränktheit , Konvergenz und evtl. Grenzwert ermitteln...

Meine Ideen:
Grenzwert bekomme ich inzwischen ohne Probleme hin...

1. Muss ich bei der Monotonie einfach nur die Werte einsetzten und dann eine Aussage treffen, dass a1= 2 größer ist als a2= 1,75 und somit ist an+1 kleiner und die Folge ist monoton fallend, oder muss man dies anders ermitteln?

2. Wenn ich den Grenzwert ermittelt habe und die Beschränktheit muss ch dann für die Konvergenz zusätzlich noch die Monotonie herausfinden oder habe ich dadurch schon gezeigt, dass die Folge konvergent ist?

3. Ich habe keine ahnung wie das mit der Beschränktheit funktioniert. Kann ich nicht einfach die Folge auschrieben mit ein paar Folgenglieder und dann sagen, dass die Folge eine obere Schranke bei 2 hat...wie berechnet man dies rechnerisch???

Ich hoffe ihr könnt mir eine Erklärung geben, damit ich es auch verstehe. Danke im Vorraus =)

16.02.2014, 12:30

simgeis

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Monotonie kannst du entweder so ausrechnen:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} - a_n >0\\ bzw\\a_{n+1} - a_n <0 \end{eqnarray*}$

oder so

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} > 1 \\bzw \\ \frac{a_{n+1}}{a_n} < 1 \end{eqnarray*}$
Je nachdem, was Du beweisen musst.

Wenn du einen Grenzwert hast, hast du auch automatisch bewiesen, dass die Folge beschränkt ist! Konvergiert die Folge monoton wachsend z.B zu n, dann ist n+1 z.b eine Schranke.

Mfg

16.02.2014, 12:36

Mina08

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wie soll ich den so die Monotonie nachweisen, wenn ich kein an gegeben habe? und wie sieht es den mit der beschränktheit aus? ich muss sie aufjedenfall berechnen ich weiss nur nicht wie?

16.02.2014, 12:57

simgeis

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Setze doch mal für $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ den gegebenen zusammenhang ein:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = 0.5 \cdot(a_n + \frac{3}{a_n}) \end{eqnarray*}$ ein und zieh davon $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ab.

Wenn die Folge mon. wachsend zu n konvergiert, so ist sie durch n nach oben beschränkt.

Lg

16.02.2014, 13:04

Mina08

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tut mir echt leid, ich steh voll auf dem Schlauch verwirrt

wie soll ich von an+1 an abziehen?

16.02.2014, 13:10

simgeis

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Kein Problem,

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} - a_n = 0.5 (a_n + \frac{3}{a_n}) - a_n \end{eqnarray*}$

wäre diese Differenz kleiner 0, so wäre die Folge monoton fallend.

analog kannst Du den Quotienten bilden
$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray*}$ und schauen, was rauskommt.

Lg

16.02.2014, 13:17

Mina08

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also ich komme auf:

an+1-an= -0,5an+ $\begin{eqnarray*} \frac{1,5}{an} \end{eqnarray*}$ <0 und somit ist die Folge monoton fallend...

16.02.2014, 13:34

simgeis

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Wenn ich mich nicht täusche, sollte das stimmen. Freude

16.02.2014, 13:40

Mina08

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achwas...cool. und wie zeige ich die beschränktheit, weil wenn ich zahlen einsetze a1=2, etc... dann weiss ich dass es gegen 1,73 strebt (grenzwert ist wurzel 3),aber wie beweise ich dies?

16.02.2014, 13:43

simgeis

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Für $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = a_n \end{eqnarray*}$ , weil im unendlichen ja der Wert angenommen wird, zu dem die Folge konvergiert.
Nun musst du nur noch rechnen smile

16.02.2014, 14:08

Mina08

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muss ich jetzt den lim bei der folge an+1 laufen lassen? wenn ja, dann erhalte ich insgesamt 0, weil n gegen unendlich läuft?

16.02.2014, 14:24

simgeis

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Nein, das stimmt nicht. Ich meinte das etwas anders.

Rechne wie folgt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} a_n + \frac{3}{2a_n} = a_n \end{eqnarray*}$

damit kommst Du dann schließlich auf den Grenzwert.
Mfg

16.02.2014, 14:45

Mina08

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ja so habe ich schließlich auch den grenzwert berechnet, aber wie ist es mit der beschränktheit, ist das exakt die gleiche rechnung? tut mir leid, dass ich darauf rumhacke ...

16.02.2014, 14:52

simgeis

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Stell Dir beschränkt so vor, dass keine Werte über der oberen Grenze angenommen werden. Wenn die Folge nun aber zu einem Wert konvergiert und nicht größer wird, so ist die Folge auch beschränkt -> Sie nimmt keine Werte über dem Grenzwert an.

16.02.2014, 14:56

Mina08

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ja, das weiss ich. aber mein dozent hat die beschranktheit anderst bewiesen als der grenzwert

16.02.2014, 15:04

simgeis

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Ja das kann man auch ohne den Grenzwert machen, aber wozu, wenn du doch den Grenzwert hast?

Ein Kriterium, dass die Folge konvergiert ist z.b dass die folge monoton fallend ist und beschränkt ist.

Beschränktheit prüft man meistens durch Abschätzungen:

Sagen wir mal: $\begin{eqnarray*} a_n > 0 \end{eqnarray*}$
Das überprüfe man durch vollständige Induktion und schon hat man bewiesen, dass $\begin{eqnarray*} (a_n)_n \end{eqnarray*}$ beschränkt ist.

16.02.2014, 15:12

magic_hero

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Ich mische mich ja nicht gerne ein, hier wird mir aber viel zu sehr mit der Formalität geschludert (und etwas ist grundlegend falsch). Zum Rechnen ist das völlig okay, aber ich habe irgendwie das Gefühl, dass das hier nicht so wirklich im Bewusstsein ist.

Zitat:

Original von simgeis
Wenn du einen Grenzwert hast, hast du auch automatisch bewiesen, dass die Folge beschränkt ist!

Ja. Bloß kann man nicht "einen Grenzwert ausrechnen" und hat dadurch Beschränktheit gezeigt, jedenfalls nicht bei solchen rekursiv definierten Folgen. Den Grenzwert so auszurechnen, wie es hier beschrieben wird, ist erst gerechtfertigt, wenn man tatsächlich schon die Konvergenz gezeigt hat. Und dazu ist eben das Kriterium nützlich, das besagt, dass monotone und beschränkte Folgen (genauer: monoton wachsend und nach oben beschränkt oder monoton fallend und nach unten beschränkt) konvergent sind.

Ein Beispiel, warum das nötig ist, wäre die folgende Folge: $\begin{eqnarray*} a_{n+1}:=-a_n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit Startwert $\begin{eqnarray*} a_1:=1 \end{eqnarray*}$ . Da würde man mit der Methode auf einen Grenzwert 0 kommen, was aber offensichtlich falsch ist - weil die Folge halt gar nicht erst konvergiert!

Zitat:

Original von simgeis
Konvergiert die Folge monoton wachsend z.B zu n, dann ist n+1 z.b eine Schranke.

Ich finde es unglücklich, eine obere Schranke n zu nennen, wenn die Folge von n abhängt, also als Index n hat, denn wenn man dann einen Grenzwert betrachtet, lässt man ja n gegen unendlich gehen, was die Schranke gegen unendlich gehen ließe.

Zitat:

Original von Mina08
also ich komme auf:

an+1-an= -0,5an+ $\begin{eqnarray*} \frac{1,5}{an} \end{eqnarray*}$ <0 und somit ist die Folge monoton fallend...

Zitat:

Original von simgeis
Wenn ich mich nicht täusche, sollte das stimmen. Freude

Und wieso stimmt das? Gibt es dafür eine gute Begründung? Direkt sehen kann ich es jedenfalls nicht. (Man könnte das z.B. induktiv beweisen...)

Zitat:

Original von simgeis
Für $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = a_n \end{eqnarray*}$ , weil im unendlichen ja der Wert angenommen wird, zu dem die Folge konvergiert.

Das ist sehr schlecht formuliert, denn tatsächlich ist ja nicht notwendigerweise $\begin{eqnarray*} a_n=a_{n+1} \end{eqnarray*}$ für irgendein $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . Viel mehr gilt im Falle der Konvergenz der Folge: $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} a_{n+1} = \lim_{n\to\infty} a_n \end{eqnarray*}$ . Aber wirklich nur im Falle der Konvergenz, vgl. Beispiel oben.

Zitat:

Original von simgeis
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} a + \frac{3}{2a} = a \end{eqnarray*}$

(Ich habe hier $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ durch a ersetzt, vgl. Text.)
Entsprechend, zu dem was ich direkt hierüber geschrieben habe, ist das formal so falsch, denn man setzt gerade nicht die Folge oder ein Folgenglied ein. Viel mehr benutzt man, nachdem man die Konvergenz der Folge gezeigt hat, die dann gültige Tatsache $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} a_{n+1} = \lim_{n\to\infty} a_n \end{eqnarray*}$ aus (benennt dann diesen Grenzwert z.B. mit a, d.h. $\begin{eqnarray*} a:=\lim_{n\to\infty} a_{n} \end{eqnarray*}$ , also und berechnet so den Grenzwert.

Zur Beschränktheit der Folge:
Am besten ist es, wenn man schon mal eine gute Vermutung für eine in diesem Fall obere Schranke hat (indem man z.B. mal den potentiellen Grenzwert ausrechnet mit obigem Verfahren - von dem man dann aber nicht weiß, ob er tatsächlich einer ist). Dann kann man wieder induktiv zeigen, dass die Folge tatsächlich durch diese Schranke nach oben beschränkt ist.

/EDIT: Sorry für die viele Editiererei. Das mit den Color-Tags funktioniert nicht so, wie ich es dachte^^

16.02.2014, 15:13

Mina08

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Ja, das ist ein guter Schritt, dass man die Beschränktheit durch das abschätzen herausbekommt... in der Aufgabe ist es gefordert, die Beschränktheit zu ermitteln, deshalb ist es einfach besser dies zu machen...

Ich fang mal an:

I. Anfang:Für n=1 --> a1= 2 und 1 in die Folge an eingesetzt ergibt auch 2

I. Annahme: Die Ausssage für n ist richtig

I. Schluss: Zeige n+1

an+2= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*(an+1+\frac{3}{an+1} ) \end{eqnarray*}$ , wie komme ich jetzt hier weiter, bzw. wie funktioiniert das mit dem abschätzen?

16.02.2014, 15:19

Mina08

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oh man... ich bin extrem verwirrt. jetzt wird mir was ganz anderes gesagt

Ich weiss ja, dass die Folge nach oben durch 2 beschränkt ist und nach unten gegen wurzel drei strebt... wie funktioniert das mit der beschränktheit? ich glaub...ich komm hier echt nicht weiter

16.02.2014, 15:30

magic_hero

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Zitat:

Original von Mina08
Ich weiss ja, dass die Folge nach oben durch 2 beschränkt ist und nach unten gegen wurzel drei strebt...

Streng genommen weißt du das noch nicht, sondern vermutest es, und beweist es dann. Und dann weißt du es auch. Die Beschränktheit nach oben ist nicht so wichtig, wenn du eine monoton fallende Folge hast, denn das Kritierum besagt, dass eine monoton fallende und nach unten beschränkte Folge schon konvergent ist. Also zeigen wir nur die Beschränktheit nach unten. Dabei muss das nicht mal ein "scharfer" Wert sein, es reicht, eine beliebige untere Schranke zu finden. (Den Grenzwert rechnst du ja sowieso über das dir bekannte Verfahren aus.)

Zitat:

Original von Mina08
wie funktioniert das mit der beschränktheit? ich glaub...ich komm hier echt nicht weiter

Nicht so schnell verzagen, das ist hier gar nicht so schwierig, wie es aussieht. Wir zeigen einfach mal induktiv, dass $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ z.B. durch 0 nach unten beschränkt ist. (0 bietet sich hier gut an, weil der Startwert positiv ist und die Rekursion nur Nicht-Negatives addiert.)
Also musst du im Induktionsanfang zeigen, dass $\begin{eqnarray*} a_1 \geq 0 \end{eqnarray*}$ ist. Im Induktionsschritt zeigst du dann für beliebiges natürliches n, dass, falls $\begin{eqnarray*} a_n \geq 0 \end{eqnarray*}$ gilt, auch $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \geq 0 \end{eqnarray*}$ ist. Da musst du dann nur einmal die Rekursionsvorschrift aus der Aufgabenstellung benutzen und dann die Induktionsvoraussetzung einsetzen.

Für die Monotonie braucht es noch etwas mehr Arbeit, vgl. meinen oberen Beitrag.

16.02.2014, 15:36

Mina08

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das habe ich doch jeweils schon gezeigt, dass wenn ich für n 1 einsetzte erhalte ich für an und an+1 2 raus und somit es ist auch größer als 0. wie gehe ich weiter fort

16.02.2014, 15:53

magic_hero

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Zitat:

Original von Mina08
das habe ich doch jeweils schon gezeigt, dass wenn ich für n 1 einsetzte erhalte ich für an und an+1 2 raus und somit es ist auch größer als 0. wie gehe ich weiter fort

Ja, den Induktiuonsanfang hast du schon gemacht, aber beachte, dass da tatsächlich nur $\begin{eqnarray*} a_1 \geq 0 \end{eqnarray*}$ zu zeigen ist.

Für die Induktion sollte dir generell erst mal bewusst sein, was du zeigen musst: Unsere Aussage ist $\begin{eqnarray*} a_n \geq 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . Das machen wir induktiv:

Induktionsanfang ist ja wie gesagt klar.
Die Induktionsvoraussetzung/-annahme ist: Es gelte $\begin{eqnarray*} a_n \geq 0 \end{eqnarray*}$ für ein beliebiges, aber festes n.
Im Induktionsschritt musst du jetzt nur zeigen, dass dann $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \geq 0 \end{eqnarray*}$ ist. Dabei darfst (und musst) du die Induktionsvoraussetzung und die Rekursionsvorschrift benutzen. (Du wolltest das oben für $\begin{eqnarray*} a_{n+2} \end{eqnarray*}$ machen, aber das ist so nicht richtig; wenn man die Richtigkeit der Aussage für ein n annimmt, muss man die Richtigkeit für n+1 zeigen; das mit n+2 wird dann bei der Monotonie eine Rolle spielen.)

16.02.2014, 16:00

Mina08

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an sich kann ich doch für n nicht n+1 einsetzten, weil meine Folge schon für n+1 bestimmt ist, sodass ich dann einfach sage : $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} *( an+\frac{3}{an}) \end{eqnarray*}$ >0

16.02.2014, 16:07

magic_hero

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Zitat:

Original von Mina08
an sich kann ich doch für n nicht n+1 einsetzten, weil meine Folge schon für n+1 bestimmt ist

Genau das meine ich doch mit der Rekursionsvorschrift...

Zitat:

Original von Mina08
sodass ich dann einfach sage : $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} *( an+\frac{3}{an}) \end{eqnarray*}$ >0

Im Wesentlichen ist das auch schon alles, man sollte vielleicht genauer
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{1}{2} *( a_ n+\frac{3}{a_n}) > 0 \end{eqnarray*}$
schreiben. Du solltest vielleicht noch dazu schreiben, warum das ">0" gerechtfertigt ist, man sollte immer sauber und klar argumentieren.

16.02.2014, 16:10

Mina08

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das wars schon? ich habe gedacht, dass da eine zahl dabei rauskommt?!?!?
Also muss ich einfach nur dabei sagen, dass ich Folge monoton fallend ist und somit gezeigt werden muss, dass die Folge durch an+1>0 nach oben beschränkt ist?

16.02.2014, 16:19

magic_hero

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Zitat:

Original von Mina08
das wars schon? ich habe gedacht, dass da eine zahl dabei rauskommt?!?!?

Nein, wenn man allgemein etwas zeigen will, wird da im Allgemeinen keine Zahl herauskommen. Viel mehr kommen da Aussagen heraus, die entweder richtig oder falsch sind. Wieso sollte da auch eine Zahl herauskommen?!
Du hast aber mir (noch) nicht den Grund für den Schritt ">0" genannt. Ich will da nur daran erinnern, dass das auch gerechtfertigt werden muss.

Zitat:

Original von Mina08
Also muss ich einfach nur dabei sagen, dass ich Folge monoton fallend ist und somit gezeigt werden muss, dass die Folge durch an+1>0 nach oben beschränkt ist?

Nein und nein. Zu Letzterem: Eine monoton fallende und nach unten beschränkte (wir zeigten ja $\begin{eqnarray*} a_n \geq 0 \end{eqnarray*}$ ) Folge ist schon konvergent laut Monotonie-Kriterium. Wenn du also zeigst, dass die Folge monoton fallend und nach unten beschränkt ist, dann kannst du folgern, dass sie konvergent ist.
Beschränktheit nach unten haben wir ja im Wesentlichen gerade gezeigt (da fehlt nur die eine Begründung). Dass die Folge monoton fallend ist, hast du bisher noch nicht gezeigt, da hast du nur geschrieben, dass dem so sei (vgl. diesen Beitrag von dir). Du musst diese Aussage aber noch stichhaltig begründen (da sehe ich spontan aber nicht, dass das direkt möglich sein könnte) oder du beweist die Aussage, dass $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ monoton fallend ist, d.h. $\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_n \leq 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , über eine vollständige Induktion.

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