Transpositionen beweisen

16.02.2014, 12:25

Mina08

Transpositionen beweisen

Meine Frage:
Hey,

ich habe folgende Aufgabe:

Ein Zyklus der Länge 2 als Element der symmetrischen Gruppe Sn heißt Transpositoon. BEweisen Sie: Die Gruppe Sn lässt sich durch Transposition erzeugen.

Meine Ideen:
ICh weiss, dass eine Transposition aus einem Zyklus der Länge zwei besteht z.B. (i;j) und ich weiss, dass die <1> jedes Element einer Gruppe erzeugen kann... aber ich habe keine Ahnung wie man überhaupt an so einer Aufgabe rangehen soll..??

16.02.2014, 13:06

Elvis

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Die 1 ist die identische Abbildung in der Permutationsgruppe Sn. Da dies eine multiplikative Gruppe ist, wird sie nicht von 1 erzeugt. Das Erzeugnis von 1 ist die triviale Untergruppe {1}.
Tipp zum Beweis. Jede Permutation in Sn ist eine Produkt aus Zyklen. Jeder Zyklus ist ein Produkt aus Transpositionen.

16.02.2014, 13:08

Mina08

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(1,n)*(1,n-1)*...(1,3)-(1,2) =(1,2,3,...,n) kann man das so sagen?

16.02.2014, 13:25

Elvis

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Nein. Was soll das "-"-Zeichen sein ? Wenn das ein "*"-Zeichen ist, ist das auch falsch. Wenn auf der rechten Seite der Zykel (1 2 3 ... n) steht, ist es richtig. Es hilft aber nicht viel, eine ganz spezielle Permutation in Transpositionen zu zerlegen. Du möchtest zeigen, dass man jede Permutation in Transpositionen zerlegen kann.

16.02.2014, 13:39

Mina08

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ich meinte natürlich (1,n)*(1,n-1)*...(1,3)*(1,2) =(1,2,3,...,n). diese form habe ich in einem buch gesehen und da wurde die rechte seite auch so aufgeschrieben... habe ich es somit nicht schon allgemein für jede transposition gezeigt, weil ich n verwendet habe?

16.02.2014, 13:57

Elvis

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Nein, hast du nicht. Was ist mit dem Zykel (1 5 3 11 7) ? Der hat nicht die spezielle Gestalt (1 2 3 ... 11) !