lim n-> infty (1+(1/n))^(n) -> e ?

16.02.2014, 13:17	Theend9219	Auf diesen Beitrag antworten »
lim n-> infty (1+(1/n))^(n) -> e ? Hallo Kann mir jemand sagen, warum die Folge $\begin{eqnarray} (1+\frac{1}{n})^{n} \end{eqnarray}$ gegen e konvergiert? Wäre lieb wenn mir jemand helfen könnte Ich dachte weil $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ gegen 0 konvergiert bleibt $\begin{eqnarray} (1)^{n} \end{eqnarray}$ und das ist ja 1. ?
16.02.2014, 13:25	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei uns war dies die Definition der Zahl e. Wie habt ihr sie denn definiert ? Zu deiner Vermutung: du kannst den Grenzübergang aber nicht partiell durchführen. Ein etwas offensichtlicheres Gegenbeispiel, warum das nicht geht: (1/n) / (1/n^2) geht gegen 0, weil der Zähler gegen 0 geht und 0 / (1/n^2) sowieso gleich 0 ist dann (so nach deiner Argumentation)
16.02.2014, 13:31	Theend9219	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo vIelen Dank für deine Antwort. Die Zahl e haben wir im Skript nicht erläutert. Aber wenn das die Definition ist dann nehme ich das mal so hin. Ah jetzt wird es mir bewusst. Das mit dem Auseinanderziehen ist ja eher dann für Reihen glaube ich bestimmt. Liebe Grüße
16.02.2014, 18:08	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann es aber auch definieren als $\begin{eqnarray} e:=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}. \end{eqnarray}$ Da könnte man dann beweisen, dass das gleich $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \end{eqnarray}$ ist.
16.02.2014, 18:13	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray}$ ja mal untersuchen. Dazu umschreibst du $\begin{eqnarray} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e^{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\cdot n} \end{eqnarray}$ und schaust dir den Grenzwert mit $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty} e^{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\cdot n} \end{eqnarray}$ an.

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