Klausurvorbereitung: Lottomodel, Bernoulliketten und andere Fundamente der Stochastik

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Laurentius_Krab Auf diesen Beitrag antworten »
Klausurvorbereitung: Lottomodel, Bernoulliketten und andere Fundamente der Stochastik
Hallo Leute,

am Dienstag steht eine Klausur in Stochastik an und ich habe hier einige Aufgaben im Buch, aber keine Lösungen dazu. Deswegen wollte ich meine Ergebnisse hier prüfen lassen.
Wer also etwas Lust zu rechnen hat: Ich bin für jede Hilfe dankbar.
Wenn ich hier Unterstützung, werde ich im Verlauf weitere Aufgaben posten.
Vielen Dank schon mal im Voraus smile

Aufgabe 1:

Ein Banktresor ist durch eine vierstellige Geheimzahl geschützt mit den Ziffern 0 bis 9.

Wie wahrscheinlich sind folgende Ereignisse:

A: Alle Ziffern ungerade

B: Geheimzahl besteht nur aus den Ziffern 8 und 9

C: Die Geheimzahl ist spiegelsymmetrisch, z.B.: 2772

Bei A und B habe ich die Formel der Bernoulliketten angewendet:

P(A) = (4 über 4) * (5/10)^4 * (5/10)^0 = 6,25%

P(B) = (4 über 4) * (2/10)^4 * (8/10)^0 = 1/625

Kann man das so machen?
Und wenn ja, gibt es auch andere Möglichkeiten? Es ist nämlich so, dass diese Aufgabe im Buch direkt im Anschluss an die Erklärung des Lotto Models kommt und die Bernoulliketten erst danach erklärt werden. Deshalb hatte ich erst versucht die Aufgabe über das Lottomodel zu lösen, jedoch ist das ja nur für ungeordnete Stichproben OHNE zurücklegen. Diese Aufgabe ist jedoch MIT zurücklegen, dachte ich.

Weiter geht es mit C:

Es gibt 10 Möglichkeiten für die Zahlen außen und 10 für die Zahlen innen:
10 * 10 = 100
Insgesamt gibt es 10^4 Kombinationen: 10.000
--> P(C) = 100/10.000 = 1%

Richtig?

Und eine Aufgabe 2 gibt es da noch:

Ist folgende Aussage richtig:
Die Geheimzahl hat mindestens 2 gleiche Ziffern mit einer Wahrscheinlichkeit von über 50%.

P(2): 1 * 9/10 * 8/10 * 7/10 = 50,4%

So das wars erstmal Prost
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klausurvorbereitung: Lottomodel, Bernoulliketten und andere Fundamente der Stochastik
Zitat:
Original von Laurentius_Krab
Aufgabe 1:

Ein Banktresor ist durch eine vierstellige Geheimzahl geschützt mit den Ziffern 0 bis 9.

Wie wahrscheinlich sind folgende Ereignisse:

A: Alle Ziffern ungerade

B: Geheimzahl besteht nur aus den Ziffern 8 und 9

C: Die Geheimzahl ist spiegelsymmetrisch, z.B.: 2772

Bei A und B habe ich die Formel der Bernoulliketten angewendet:

P(A) = (4 über 4) * (5/10)^4 * (5/10)^0 = 6,25%

P(B) = (4 über 4) * (2/10)^4 * (8/10)^0 = 1/625

Kann man das so machen?
Und wenn ja, gibt es auch andere Möglichkeiten? Es ist nämlich so, dass diese Aufgabe im Buch direkt im Anschluss an die Erklärung des Lotto Models kommt und die Bernoulliketten erst danach erklärt werden. Deshalb hatte ich erst versucht die Aufgabe über das Lottomodel zu lösen, jedoch ist das ja nur für ungeordnete Stichproben OHNE zurücklegen. Diese Aufgabe ist jedoch MIT zurücklegen, dachte ich.
Die Aufgabe ist natürlich mit Zurücklegen, sonst wäre es keine Bernoullikette.

Das kann man so machen wie du, man kann das aber noch vereinfachen: Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle vier Ziffern ungerade sind. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Ziffer ungerade ist, ist 1/2(=5/10), bei viermaligen "Ziehen" kommt man so auf
Man kann sich das als Ziehen der Ziffern aus einer Urne vorstellen (die Bälle sind mit den Ziffern 0 bis 9 beschriftet), so dass man viermal hintereinander zieht. Dabei wird auch klar, dass man mit Zurücklegen zieht, da ja jedesmal der selbe Ziffernvorrat zur Verfügung steht.

Man kann auch die Anzahl der günstigen durch die Anzahl der möglichen Ereignisse teilen und kommt so auch auf das selbe Ergebnis.

Ähnlich geht die Aufgabe b)
Zitat:
Original von Laurentius_Krab
Weiter geht es mit C:

Es gibt 10 Möglichkeiten für die Zahlen außen und 10 für die Zahlen innen:
10 * 10 = 100
Insgesamt gibt es 10^4 Kombinationen: 10.000
--> P(C) = 100/10.000 = 1%

Richtig?
Richtig. In dem obigen Urnenmodell entspricht das zweifachem Ziehen, da die dritte Ziffer durch die zweite und die vierte durch die erste festgelegt ist.
Zitat:
Original von Laurentius_Krab
Und eine Aufgabe 2 gibt es da noch:

Ist folgende Aussage richtig:
Die Geheimzahl hat mindestens 2 gleiche Ziffern mit einer Wahrscheinlichkeit von über 50%.

P(2): 1 * 9/10 * 8/10 * 7/10 = 50,4%
Das ist falsch. Gesucht ist ja die Wahrscheinlichkeit, dass 2,3 oder 4 Ziffern gleich sind. Du hast anscheinend nur die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet dass alle 4 verschieden sind.
Laurentius_Krab Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank.

Stimmt. Bei Aufgabe 2 habe ich vergessen dazuzuschreiben, dass das die Gegenwahrscheinlichkeit ist. Demnach ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei gleiche Ziffern vorkommen 49,6% und die Aussage ist falsch.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Laurentius_Krab
Stimmt. Bei Aufgabe 2 habe ich vergessen dazuzuschreiben, dass das die Gegenwahrscheinlichkeit ist. Demnach ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei gleiche Ziffern vorkommen 49,6% und die Aussage ist falsch.
Das stimmt.
Laurentius_Krab Auf diesen Beitrag antworten »

Schön, dann mache ich mal weiter mit einem Lottospiel:

Lottospiel 4 aus sieben. Man kreuzt vier der sieben Felder des Lottoscheins an. Später werden vier Gewinnerzahlen gezogen.

Aufgabe 1.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass:

A: man vier Richtige hat.

B: man mindestens zwei Richtige hat.
["C" steht für ÜBER, wie auf dem Taschenrechner]

P(A) = (4 C 4) * (3 C 0) / (7 C 4) = 2,86%

P(B) = (4 C 4) * (3 C 0) / (7 C 4) + (4 C 3) * (3 C 1) / (7 C 4) + (4 C 2) * (3 C 2) / (7 C 4) = 88,57%

Aufgabe 2.
Ein Tip kostet 2€.
Für zwei Richtige bekommt man 0,50 €.
Für drei Richtige 1€.
Für vier Richtige 20€.
Lohnt das Spiel für den Spieler?

Wahrscheinlichkeit für 0 und für 1 Richtigen berechnen.
Und dann Wahrscheinlichkeiten mit Gewinn/Verlust multiplizieren und alle addieren. Das ergibt dann den Erwartungswert. Ist dieser positiv, lohnt das Spiel, right?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei Aufgabe 1b wäre es etwas einfacher, die Gegenwahrscheinlichkeit zu berechnen. Ansonsten ist das aber alles richtig.
 
 
Laurentius_Krab Auf diesen Beitrag antworten »

Danke.

OK ein Paar habe ich noch:

1.
Ein Biathlet trifft die Scheibe mit einer Wahrscheinlichkeit von 80%. Er schießt 10 mal. Wie ist die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens 8 mal trifft?
P = B(10; ⅘; 8) + B(10; ⅘; 9) + B(10; ⅘; 10)
= 67,78%

2.
Ein Basketball Spieler hat eine Trefferwahrscheinlichkeit von 90%.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass seine Trefferausbeute bei 50 Versuchen höher als 80% ist.

Antwort:
80% sind ja 40 Treffer. Das heißt ich schaue bei den Tabellen der kumulierten Binomialverteilung nach und bekomme folgendes raus:
Hier mal der Link (Bin nicht 100% sicher, ob ich die richtig lese): http://www.informatik.uni-bremen.de/~sha...ial_tabelle.PDF

P (x > 40) = 1 - P(x gleich-größer 41) = 94,21 %

2.2
Der Spieler wirft 100 mal.
a) Wie wahrscheinlich sind mindestens 90 Treffer?
b) Welche Trefferanzahl kann er seinem Trainer mit mindestens 95% garantieren?

a) Wieder die Tabelle
P(x gleich-größer 90) = 1 - P(x gleich-größer 90)
= 1 - 0,4513
= 54,87%

b)
Wir suchen das n.
Lese ich das auch einfach wieder in der Tabelle ab?
Die Antwort wäre dann 15, nicht?
Und wenn es für bestimmte Zahlen keine Tabelle gibt, gebe ich das in den Taschenrechner ein und lese in der Tabelle ab?
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