Solve x^(2)-x-1=0

16.02.2014, 16:58

Theend9219

Solve x^(2)-x-1=0

Hallo

)

Ich möchte folgende Gleichung lösen.
$\begin{eqnarray*} \phi^{2} - \phi -1 = 0 \end{eqnarray*}$

Mir ist die Lösung bekannt, nur der Weg dorthin ist mir unklar.
Ich bin soweit gekommen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\phi}{2} \pm \sqrt{(-\frac{\phi}{2})^{2} +1}<br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{\phi}{2} \pm \sqrt{\frac{\phi^{2}}{4} +1} \end{eqnarray*}$

Hier komme ich nicht weiter.. Wie muss ich vorgehen?

Wäre lieb wenn mir jemand hilft. Liebe Grüße

16.02.2014, 17:02

10001000Nick1

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Wieso setzt du die Variable in die Lösungsformel ein? Da muss man nur die Koeffizienten einsetzen.

16.02.2014, 17:03

Theend9219

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Upps! ... war wohl nicht genug nachgedacht!.. Danke ich mach dann mal weiter.

16.02.2014, 17:09

Theend9219

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Eigendlich möchte ich folgende Aufgabe beweisen. Der Goldene Schnitt ist die eindeutige reelle Lösung $\begin{eqnarray*} \phi >1 \end{eqnarray*}$ der Gleichung

$\begin{eqnarray*} \phi = 1+\frac{1}{\phi} \end{eqnarray*}$

Wir sollten zeigen das \phi eine irrationale Zahl ist. Meine Idee für eine irrationale Zahl gilt ja
$\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ .
Ich hatte die Nullstelle jetzt berechnet, komme auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} (1+\sqrt{5}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} (1-\sqrt{5}) \end{eqnarray*}$ . Schreibe ich nun:

$\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} = \frac{1}{2} (1+\sqrt{5}) \end{eqnarray*}$ ?

16.02.2014, 17:15

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Theend9219
Meine Idee für eine irrationale Zahl gilt ja
$\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ .

Was soll das denn sein?

16.02.2014, 17:16

Theend9219

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Entschuldigung, ich habe mich falsch ausgedrückt. Ich meinte natürlich, dass ich auf eine irrationale Zahl prüfen will, und dabei ausgehe das diese Zahl rational ist (einen Widerpruchsbeweis).

16.02.2014, 17:20

10001000Nick1

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Aber es gibt doch auch noch Bedingungen für p und q, damit $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ rational ist: Es muss z.B. $\begin{eqnarray*} p\in\mathbb{Z}, q\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ sein.

Du könntest also so anfangen: Angenommen, $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(1+\sqrt{5})\in\mathbb{Q}. \end{eqnarray*}$ Dann gibt es $\begin{eqnarray*} p\in\mathbb{Z}, q\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q}=\frac{1}{2}(1+\sqrt{5}). \end{eqnarray*}$

Und jetzt machst du weiter.

16.02.2014, 17:25

Theend9219

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Hey, vielen Dank für deinen Ansatz. Ich hätte nun einfach umgeformt.
$\begin{eqnarray*} 2p = (1+\sqrt{5}) \cdot q \end{eqnarray*}$ . Aber da ist auch schon Schluss mit weitermachen =(..

16.02.2014, 17:27

10001000Nick1

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Forme die Gleichung so um, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ allein auf einer Seite steht. Und dann solltest du auf einen Widerspruch stoßen.

16.02.2014, 17:35

Theend9219

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Danke!
Ich komme auf:

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \frac{p}{q} -1 = \sqrt{5} \end{eqnarray*}$

Aber kann man jetzt einfach sagen, da \sqrt{5} irrational ist, tut der Rest das auch?

Liebe Grüße

16.02.2014, 17:39

10001000Nick1

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Wieso sollte die linke Seite der Gleichung irrational sein? Das ist doch offensichtlich rational (weil auch $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ rational ist).
Die rechte Seite der Gleichung ist allerdings irrational.
-->Widerspruch.

16.02.2014, 17:45

Theend9219

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Danke!.
Aber ich verstehe nicht, warum $\begin{eqnarray*} 2\frac{p}{q} -1 \end{eqnarray*}$ rational ist, denn ist es egal in dem Fall was da vor dem $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ multipliziert und abgezogen wird?

16.02.2014, 17:48

10001000Nick1

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2 ist rational, 1 ist rational und $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ ist rational.

Weil $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ein Körper ist, ist die Summe zweier rationaler Zahlen bzw. das Produkt zweier rationaler Zahlen auch wieder rational.

05.03.2014, 20:38

Theend9219

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Vielen Dank Nick!! Augenzwinkern

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