Kurvenintegral mit Residuensatz

16.02.2014, 17:37

Xbf

Kurvenintegral mit Residuensatz

Hallo,
ich möchte folgendes Integral mit dem Residuensatz lösen: $\begin{eqnarray*} \int_\gamma \frac{z^2+1+2i}{z^4+z^2}dz \end{eqnarray*}$
über den geschlossenen Weg $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ , der aus den Kreisbogen mit den Mittelpunkten A(1,0), B(-1,0) und C(0, $\begin{eqnarray*} \sqrt{3}i \end{eqnarray*}$ ) besteht, welche jeweils die anderen zwei Punkte verbinden.

Damit ist $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ der obere Teil einer Ellipse.

Mit Partialbruchzerlegung: $\begin{eqnarray*} \int_\gamma \frac{z^2+1+2i}{z^4+z^2}=\int_\gamma \frac{1+2i}{z^2}dz+\int_\gamma \frac{1}{z+i}dz-\int_\gamma \frac{1}{z-i}dz \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich paar Fragen, wie es weiter geht.
Wie finde ich raus, welche Singularitäten überhaupt in dem Gebiet liegen?
Bei Kreisen ging das immer mit dem Betrag. Z.B. ist $\begin{eqnarray*} |-i|=1 \end{eqnarray*}$ , jetzt kann ich nicht sagen, ob es innerhalb oder auf dem Rand liegt (außerhalb auf jeden Fall nicht). Wenn es außerhalb liegt, wird das Residuum ja Null.

Dann wollte ich erstmal die drei Residuen berechnen:
$\begin{eqnarray*} res_i\left (\frac{1}{z-i}\right )=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} res_{-i}\left (\frac{1}{z-(-i)}\right )=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} res_{0}\left (\frac{1+2i}{z^2}\right )=??? \end{eqnarray*}$

Für n-fache Polstellen gilt $\begin{eqnarray*} res_{z_0}(f)=\frac{1}{(n-1)!}\lim_{ z\to z_0}\left [(z-z_0)^n f(z)\right ]^{n-1} \end{eqnarray*}$ .

Demnach wäre mit $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_0=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} res_{0}\left (\frac{1+2i}{z^2}\right )=1+2i \end{eqnarray*}$

Aber Wolfram Alpha sagt, dass es 0 wäre.
Wäre nett, wenn mir jemand bei der Aufgabe helfen würde.

Grüße
Xbf

17.02.2014, 12:19

Leopold

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RE: Kurvenintegral mit Residuensatz

Zitat:

Original von Xbf
über den geschlossenen Weg $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ , der aus den Kreisbogen mit den Mittelpunkten A(1,0), B(-1,0) und C(0, $\begin{eqnarray*} \sqrt{3}i \end{eqnarray*}$ ) besteht, welche jeweils die anderen zwei Punkte verbinden.

Damit ist $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ der obere Teil einer Ellipse.

Ein ziemliches Durcheinander hier. Entweder verwendet man die Schreibweise des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ oder die Schreibweise von $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ . Und wenn man mit komplexen Zahlen arbeitet, sollte man Letzteres tun. Was du allerdings bei Punkt $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ gemacht hast, geht auf gar keinen Fall.
Jetzt bring erst einmal Ordnung in den Laden.
Und wo ist da eine Ellipse?

17.02.2014, 12:48

Xbf

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Tut mir Leid Leopold, das ist die Aufgabenstellung. Hier jetzt 1:1 abgeschrieben:

Berechnen Sie mit Hilfe des Residuensatzes das Kruvenintegral
$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma}\frac{z^2+1+2i}{z^4+z^2}dz \end{eqnarray*}$
über den geschlossenen Weg $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ , der aus den Kreisbogen mit den Mittelpunkten $\begin{eqnarray*} A(1,0), ~B(-1,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C(0,\sqrt{3}i) \end{eqnarray*}$ besteht, welche die jeweils anderen zwei Punkte verbinden.

Bisher habe ich diese drei Punkte gezeichnet und von A zu C zu B verbunden. Wobei die Strecken zwischen den Punkten keine Gerade sondern eine Kurve waren. Dazu dann noch eine Gerade von A zu B. Dann hatte ich die obere Hälfte einer Ellipse mit Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ .

Aber das war wohl nicht Aufgabenstellung, allerdings weiß ich jetzt auch nicht, wie das zeichnen könnte. Wie kann es mehrere Mittelpunkte geben? Soll ich mehrere Kreise zeichnen?

17.02.2014, 13:41

Leopold

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Zitat:

Original von Xbf
mit den Mittelpunkten $\begin{eqnarray*} A(1,0), ~B(-1,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C(0,\sqrt{3}i) \end{eqnarray*}$

Diese Aufgabenstellung ist Murks. Richtig wäre

$\begin{eqnarray*} a = 1, \ b = -1, \ c = \sqrt{3} \operatorname{i} \end{eqnarray*}$

Das Dreieck aus den Punkten $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ ist ein besonderes. Welche Eigenschaft hat es? Fertige eine sorgfältige Zeichnung an.
Dann zeichne, jeweils in positivem Drehsinn, einen Kreisbogen um $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ , einen Kreisbogen um $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ und einen Kreisbogen um $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ . Die drei Kreisbögen bilden, positiv orientiert, die Kurve $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ . Also nichts mit Ellipse.

17.02.2014, 18:33

Xbf

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Ahh, das macht Sinn.
Alle Seiten sind gleich lang vom Dreieck. Die Kreise haben den Radius $\begin{eqnarray*} r=2 \end{eqnarray*}$
Deren Umrandung ist $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ .
Dementsprechend liegen alle oben genannten Singularitäten außer $\begin{eqnarray*} \frac{1}{z-(-i)} \end{eqnarray*}$ innerhalb des Gebietes.
Wenn man richtig rechnet, dann stimmt auch das letzte Residuum.
Dann müsste es so hoffentlich stimmen:

$\begin{eqnarray*} \int_\gamma \frac{z^2+1+2i}{z^4+z^2}=\int_\gamma \frac{1+2i}{z^2}dz+\int_\gamma \frac{1}{z+i}dz-\int_\gamma \frac{1}{z-i}dz=2\pi i \left ( res_{i}\left (\frac{1}{z-i}\right )+res_0\left (\frac{1+2i}{z^2}\right ) \right )=2\pi i(1+0)=2 \pi i \end{eqnarray*}$

Oder gibt es Fehler?
Auf jeden Fall Tausend Dank Leopold für die häufige super Hilfe smile

17.02.2014, 18:38

Leopold

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Zitat:

Original von Xbf
Dementsprechend liegen alle oben genannten Singularitäten innerhalb des Gebietes.

$\begin{eqnarray*} - \operatorname{i} \ \text{???} \end{eqnarray*}$

17.02.2014, 18:54

Xbf

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Habe es oben korrigiert, ich hätte nicht die vollständigen Kreise zeichnen sollen. Auf dem ersten Blick lag $\begin{eqnarray*} -i \end{eqnarray*}$ dann drinnen.

17.02.2014, 19:06

Leopold

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Zitat:

Original von Xbf
$\begin{eqnarray*} \int_\gamma \frac{z^2+1+2i}{z^4+z^2}=\int_\gamma \frac{1+2i}{z^2}dz+\int_\gamma \frac{1}{z+i}dz - \color{red} \text{(!!!)} \color{black} \int_\gamma \frac{1}{z-i}dz=2\pi i \left ( res_{i}\left ( \color{red} - \color{black} \frac{1}{z-i}\right )+res_0\left (\frac{1+2i}{z^2}\right ) \right )=2\pi i( \color{red} - \color{black} 1+0)= \color{red} - \color{black} 2 \pi i \end{eqnarray*}$

17.02.2014, 19:41

Xbf

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Jo danke, ich mache generell viel zu viele Flüchtigkeitsfehler unglücklich

Wie macht man das denn, wenn ich ein Integral mit dem Residuensatz berechnen soll und das so aussieht:
$\begin{eqnarray*} \int_{|z-i|=3}\frac{e^{z^2}-1}{z-i}dz \end{eqnarray*}$

Zu Stande gekommen ist das durch Partialbruchzerlegung von $\begin{eqnarray*} \int_{|z-i|=3}\frac{e^{z^2}-1}{z^3-iz^2}=\int_{|z-i|=3}\frac{e^{z^2}-1}{z}+\frac{ie^{z^2}-i}{z^2}-\frac{e^{z^2}-1}{z-i}dz \end{eqnarray*}$

Jetzt liegt die Singularität doch genau auf dem Rand oder? Wie gehe ich da weiter vor?

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