Kranzprodukt operiert auf Kartesischen Produkt

16.02.2014, 17:46	cloudsurfer	Auf diesen Beitrag antworten »
Kranzprodukt operiert auf Kartesischen Produkt Meine Frage: Hallo Leute. Ich hab bei Wiki Folgendes gelesen. Seien $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ Gruppen und $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ operiert auf einer Menge $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ durch die Operation $\begin{eqnarray} \Gamma_1 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ auf einer Menge $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ durch die Operation $\begin{eqnarray} \Gamma_2 \end{eqnarray}$ . Dann operiert das Kranzprodukt $\begin{eqnarray} G \wr_Y H =G^Y \rtimes_\varphi H \end{eqnarray}$ (mit $\begin{eqnarray} \varphi\colon H \longrightarrow Aut(G^Y) \end{eqnarray}$ definiert durch $\begin{eqnarray} \varphi(h)(f):=f(\Gamma_2( \cdot , h^{-1})) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} G^Y=\{f \colon Y \longrightarrow G \} \end{eqnarray}$ ), auf $\begin{eqnarray} X \times Y \end{eqnarray}$ durch die Operation $\begin{eqnarray} \Gamma \end{eqnarray}$ definiert durch $\begin{eqnarray} \Gamma((x,y),(f,h)):=(\Gamma_1(x,f( \Gamma_2(y,h))),\Gamma_2(y,h)) \end{eqnarray}$ Ich hab dann mal überprüft, ob es sich wirklich um eine Gruppenoperation handelt, hab da jedoch ein Widerspruch gefunden, da nicht $\begin{eqnarray} \Gamma(\Gamma((x,y),(f_1,h_1)),(f_2,h_2))=\Gamma((x,y),(f_1,h_1)(f_2,h_2)) \end{eqnarray}$ gilt. Hab ich da irgendwas falsch notiert oder meine Gruppenoperationen falsch definiert? Meine Ideen: Vielen Dank für jede Unterstützung.

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