Wurzelgleichung lösen (mit 2 Wurzeln)

16.02.2014, 18:15

Alois001

Wurzelgleichung lösen (mit 2 Wurzeln)

Meine Frage:
Hallo Zusammen,

ich hoffe, dass einer von euch Matheprofis kurz mein Ergebnis überprüfen kann, da dieses nicht mit dem Lösungsbuch übereinstimmt Augenzwinkern

Die Aufgabe lautet: $\begin{eqnarray*} \sqrt{3x+19}-\sqrt{5x-1}=2 \end{eqnarray*}$
Musterlösung: $\begin{eqnarray*} x_{1}=2 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Als erstes habe ich die Gleichung so umgestellt, dass auf beiden Seiten eine Wurzel steht. Dann habe ich beide Seiten quadriert und im Anschluss die übrige Wurzel isoliert. Im nächsten Schritt habe ich beide Seiten durch den gemeinsamen Faktor 2 dividiert und dann erneut quadriert. Das Ergebnis habe ich in die Normalform einer quadratischen Gleichung umgestellt $\begin{eqnarray*} x^{2}-36x+68=0 \end{eqnarray*}$ und dann in die PQ-Formel eingesetzt.

Mein Ergebnis nach der Probe: Es gibt keine Lösung.

Ich hoffe Ihr könnt mal kurz einen Blick drüber werfen. Vielen Dank vorab.

16.02.2014, 18:17

Equester

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Dein Verfahren hört sich richtig an. Du müsstest aber auf die Musterlösung kommen. Diese stimmt (mache die Probe mit ihr).

Probiers nochmals. Wenn es nochmals Probleme gibt, zeig mal her was du hast Augenzwinkern

16.02.2014, 18:29

Alois001

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Hi Equester,

jo die Probe von der Musterlösung stimmt, aber es heißt ja nicht, das es das richtige Ergebnis ist. Ich wollte es eig vermeiden aber hier mal meine Lösung:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{3x+19}=2+\sqrt{5x-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 3x+19=4+4\sqrt{5x-1}+5x-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow -2x+16=4\sqrt{5x-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow -x+8=2\sqrt{5x-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x^{2}-16x+64=20x-4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x^{2}-36x+68=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_{1/2} =-\frac{36}{2}\pm \sqrt{\frac{36}{2}^{2}-68 }=-18\pm \sqrt{256} =-18\pm 16 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_{1}=-2 \text{ und } x_{2}=-34 \end{eqnarray*}$

Beide Zahlen sind in der Probe aufgrund der 2. Wurzel nicht möglich, so dass ich auf keine Lösung komme.

Edit Equester: Zeilenumbrüche eingebaut.

16.02.2014, 18:37

Equester

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Wenn die Probe aufgeht, warum sollte diese dann falsch sein? Das ist ja der Sinn der Probe -> Überprüfen der errechneten Lösung Augenzwinkern

.

Du musst alle Wurzeln auf einer Seite sammeln. Sonst darf nicht quadriert werden (achte darauf, dass quadrieren eigentlich keine Äquivalenzumformung ist, deswegen ja auch die Probe).

Probiere es erneut, in dem Du im ersten Schritt direkt quadrierst Augenzwinkern

16.02.2014, 18:40

Alois001

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Das habe ich schon alles versucht Augenzwinkern

ich vermute, dass das Ergebnis der Musterlösung von x1 und x2 im Vorzeichen falsch ist. Hast du die Aufgabe schon durch gerechnet, dass du dir so sicher bist?

Vielen Dank für die Hilfe übrigens smile

16.02.2014, 18:49

Equester

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Die Aufgabe braucht man nicht durchzurechnen um die Musterlösung zu bestätigen. Einsetzen reicht Augenzwinkern

.

Aber ja, ich habe es nochmals nachgerechnet. Ich kann die Musterlösung bestätigen.

Den bei dir vorliegenden Fehler habe ich schon aufgezeigt Augenzwinkern

16.02.2014, 18:50

HAL 9000

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Wie so oft, sind es die Vorzeichen, diesmal bei Anwendung der pq-Formel: Richtig ist

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_{1/2} = {\color{red}-\Big(} -\frac{36}{2} {\color{red}\Big)}\pm \sqrt{\frac{36}{2}^{2}-68 } \end{eqnarray*}$

16.02.2014, 18:54

Kasen75

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Zitat:

Original von Alois001
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x^{2}-36x+68=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_{1/2} =-\frac{36}{2}\pm \sqrt{\frac{36}{2}^{2}-68 } \end{eqnarray*}$

Der Fehler liegt im Vorzeichen. Du hast nicht -p eingesetzt, sondern p.

@Equester

Ich weiß jetzt nicht ganz genau, ob du diesen Fehler schon aufgezeigt hattest.

Grüße.

16.02.2014, 18:56

Alois001

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Oh man

dann liegt der Vorzeichenfehler wohl bei mir. Vielen Dank für die Hilfe und noch einen schönen Sonntagabend Wink

16.02.2014, 18:57

Equester

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.

Man darf quadrieren, auch wenn die Wurzeln nicht isoliert sind verwirrt

. Ich dachte das sei verboten. Hatte es erst kürzlich mal nachgerechnet und hatte das bestätigt. Da hatte ich mich dann wohl ebenfalls vertan verwirrt

.

Danke für eure Adleraugen smile

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