Differenzierbarkeit einer reellen Funktion

16.02.2014, 22:52	martinio	Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzierbarkeit einer reellen Funktion Hallo gegeben sei die Funktion $\begin{eqnarray} f: \mathbb R \longrightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x) = \begin{cases} \exp(x+2a) &\mbox{falls }n x \geq 1 \\-2\sin(x-1+\pi)+x^2+b & \mbox{falls } x < 1. \end{cases} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a,b \in \mathbb R \end{eqnarray}$ Bestimmen Sie a,b so, dass f differenzierbar ist. Meine Idee: f(x) ist für die o.g. Teilintervalle differenzierbar, an der Stelle $\begin{eqnarray} x_0 = 1 \end{eqnarray}$ könnte es einen Sprung geben in dem die Funktion nicht differenzierbar ist, da es zwei unterschiedliche Differntialquotienten ( $\begin{eqnarray} \lim\limits_{x\to x_0}%20\frac {f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray}$ ) geben könnte, welche jeweils eine andere Steigung der Funktion in diesem Punkt bedeuten würde. Daher bilde für $\begin{eqnarray} \exp(x+2a) \end{eqnarray}$ den linksseitigen und für $\begin{eqnarray} -2\sin(x-1+\pi)+x^2+b \end{eqnarray}$ den rechtsseitigen Differentialquotienten. Da die beiden Teilfunktionen jeweils für sich auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ differenzierbar sind, darf man hier die Ableitungen bilden. Setze die Ableitungen im Punkt 1gleich und finde somit passende a, b heraus: $\begin{eqnarray} \exp(x+2a)=-2\cos(1-x)+2x <br /> <br /> x+2a= \ln(-2\cos(1-x)+2a)<br /> <br /> a=\frac{\ln(-2\cos(1-x)+2a)-x}{2} \end{eqnarray}$ Ist das soweit ein richtiger Ansatz? habe aber die Vermutung falsch abgelitten zu haben .
16.02.2014, 23:15	martinio	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzierbarkeit einer reellen Funktio hab den fehler, falsche ableitung: rauskommen muss $\begin{eqnarray} a=\frac{\ln(2\cos(1-x)+2x)-x}{2} \end{eqnarray}$ und für x=1 : $\begin{eqnarray} a= \frac{\ln(4)-1}{2} \end{eqnarray}$

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