Gleichung umformen

17.02.2014, 00:49

Alive

Gleichung umformen

Hallo zusammen,

ich bin mir hier nicht sicher, ob mein Ergebnis das gleiche ist wie das in den Lösungen. Falls es das sein sollte, wäre ich trotzdem um den Hinweis dankbar, was ich hätte anders machen müssen, um genau auf die Form der angegebenen Lösung zu kommen.

Es klemmt bei folgendem Schritt:

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{p_{1}*x_{1}} = \frac{1-a}{p_{2} *x_{2} } \end{eqnarray*}$

Dies muss ich nach x2 auflösen.

$\begin{eqnarray*} p_{2}*x_{2}*\frac{a}{p_{1} *x_{1} }=1-a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_{2}*x_{2} =\frac{1-a}{\frac{a}{p_{1}*x_{1} } } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_{2}*x_{2} =\frac{1-a}{p_{1} *x_{1} *a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2} =\frac{1-a}{\frac{p_{1} *x_{1} *a}{p_{2} } } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2} =\frac{(1-a)*p_{2} }{p_{1} *x_{1} *a} \end{eqnarray*}$

Als Lösung ist abgedruckt:

$\begin{eqnarray*} x_{2} =\frac{1-a}{a}*\frac{p_{1} }{p_{2} } *x_{1} \end{eqnarray*}$

Leider habe ich eben keine Idee, was ich anders umformen könnte, um darauf zu kommen.

Vielen Dank und viele Grüße

17.02.2014, 00:58

10001000Nick1

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RE: Gleichung umformen

Zitat:

Original von Alive
$\begin{eqnarray*} p_{2}*x_{2} =\frac{1-a}{\frac{a}{p_{1}*x_{1} } } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_{2}*x_{2} =\frac{1-a}{p_{1} *x_{1} *a} \end{eqnarray*}$

Was machst du denn da mit dem Nenner? Warum verschwindet da einfach der Bruch?
Die Regel lautet: "Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert."
Wenn du das nochmal richtig machst, solltest du dann zum richtigen Ergebnis kommen.

Hier geht es allerdings auch einfacher. Nimm doch einfach bei der Ausgangsgleichung $\begin{eqnarray*} \frac{a}{p_{1}*x_{1}} = \frac{1-a}{p_{2} *x_{2} } \end{eqnarray*}$ auf beiden Seiten den Kehrwert.

17.02.2014, 01:17

Alive

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Danke für die Hilfe! Ich habe versucht, das mit dieser Erweiterungs-Regel zu machen und mit a erweitert.

http://de.wikipedia.org/wiki/Doppelbruch

$\begin{eqnarray*} p_{2}*x_{2} =\frac{1-a}{\frac{a}{p_{1}*x_{1} } } = \frac{\frac{1-a}{a}*a }{p_{1} *x_{1}*a } = \frac{\frac{(1-a)*a}{a} }{p_{1} *x_{1}*a } \end{eqnarray*}$

Durch Kürzen von a im oberen Bruch bin ich dann zu meinem Ergebnis gekommen.

Warum ist das hier nicht möglich?

17.02.2014, 01:32

10001000Nick1

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Ich vermute, ich weiß, wo dein (Denk-)Fehler liegt.

Es gibt einen Unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} \frac{1-a}{\frac{a}{p_{1}*x_{1} } } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1-a}{a}}{p_{1}*x_{1}}. \end{eqnarray*}$
Weißt du, wo da der Unterschied liegt?

Du hast geschrieben $\begin{eqnarray*} \frac{1-a}{\frac{a}{p_{1}*x_{1} } } = \frac{\frac{1-a}{a}*a }{p_{1} *x_{1}*a }. \end{eqnarray*}$ Das ist falsch.

Richtig wäre $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1-a}{a}}{p_{1}*x_{1}} = \frac{\frac{1-a}{a}*a }{p_{1} *x_{1}*a }. \end{eqnarray*}$

Aber da du hier die erste Variante des Bruches, nämlich $\begin{eqnarray*} \frac{1-a}{\frac{a}{p_{1}*x_{1} } } \end{eqnarray*}$ , hast, kannst du nicht so umformen.

Lag da das Problem?

17.02.2014, 01:42

Alive

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Dass Bruchstrich nicht gleich Bruchstrich ist, war mir in der Tat neu... aber klar ist (5:3):2 etwas anderes als 5:(3:2).^^'

Danke für die Erleuchtung, ich rechne es dann morgen früh nochmal durch.

17.02.2014, 02:54

Dopap

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es gibt einen Hauptbruchstrich, gleich nach dem Gleichheitszeichen.

Alles oberhalb= Zähler
Alles unterhalb = Nenner

daran darfst du nichts ändern. Und latex unterscheidet fein sichtbar zwischen dem Hauptbruchstrich und dem Bruchstrich wenn z.b. der Nenner selbst ein Bruch ist.

17.02.2014, 21:58

Alive

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Es hat funktioniert und ich bin auf die abgedruckte Lösung gekommen.

Als nächstes muss ich diese beiden Gleichungen dann gleichsetzen, um ein optimales x2 und x1 herauszubekommen.

$\begin{eqnarray*} x_{2}=\frac{Y-p_{1} *x_{1} }{p_{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2}=\frac{1-a}{a}*\frac{p_{1} }{p_{2} } *x_{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{Y-p_{1} *x_{1} }{p_{2} }=\frac{1-a}{a}*\frac{p_{1} }{p_{2} } *x_{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Y-p_{1}*x_{1}=\frac{1-a}{a}*p_{1} *x_{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{Y}{x_{1} }-p_{1}=\frac{1-a}{a}*p_{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{Y}{x_{1} }=\frac{1-a}{a}*p_{1}+p_{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x_{1}}{Y}=\frac{a}{1-a}*\frac{1}{p_{1}}+\frac{1}{p_{1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1}=\frac{a}{1-a}*\frac{Y}{p_{1}}+\frac{Y}{p_{1}} \end{eqnarray*}$

als Lösung ist allerdings angegeben:

$\begin{eqnarray*} x_{1}=\frac{Y}{p_{1}}*a \end{eqnarray*}$

Wo liegt diesmal mein Denkfehler?

17.02.2014, 22:45

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Alive
$\begin{eqnarray*} \frac{Y}{x_{1} }=\frac{1-a}{a}*p_{1}+p_{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x_{1}}{Y}=\frac{a}{1-a}*\frac{1}{p_{1}}+\frac{1}{p_{1}} \end{eqnarray*}$

Da ist der Fehler.
Wenn du von einer Summe den Kehrwert bildest, muss die komplette Summe in den Nenner. Man darf nicht von jedem Summanden einzeln den Kehrwert bilden.

Das sieht man an einem ganz einfachen Beispiel: $\begin{eqnarray*} 1+1=2. \end{eqnarray*}$
Wenn ich da jetzt auf beiden Seiten den Kehrwert bilde, und das so wie du mache, steht da $\begin{eqnarray*} 1+1=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , was aber offensichtlich falsch ist. Richtig wäre $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}. \end{eqnarray*}$

18.02.2014, 14:02

Alive

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Danke, das hab ich verstanden.

Dann komme ich aber nicht weiter. Muss es gerade per Handy tippen, da ich heute Abend erst wieder zu Hause bin, deswegen leider kein Latex.

1/( ((1-a)/a) * p1 + p1) = (x1/y)

Irgendwie fällt mir wegen der Summe im Nenner links von der Gleichung nicht ein, wie ich diesen Doppelbruch nun wieder beseitigen kann, um auf die angegebene Lösung zu kommen. Könnte natürlich auch trotzdem mit Y multiplizieren und hätte damit nach x1 umgestellt, aber das Ergebnis finde ich unschön.

18.02.2014, 16:02

Steffen Bühler

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$\begin{eqnarray*} \frac{1-a}{a} \cdot p_1 = \frac 1 a \cdot p_1 - \frac a a \cdot p_1 \end{eqnarray*}$

Jetzt?

Viele Grüße
Steffen

18.02.2014, 19:07

Alive

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Danke, ich habs erst nicht ganz verstanden was mir das bringt, aber nun ist es klar!

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{1-a}{a}*p_{1}+p_{1} }=\frac{x_{1}}{Y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{1}{a}*p_{1}-\frac{a}{a}*p_{1}+p_{1}}=\frac{x_{1}}{Y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{Y}{\frac{1}{a}*p_{1}-\frac{a}{a}*p_{1}+p_{1}}=x_{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{Y}{\frac{1}{a}*p_{1}-1*p_{1}+p_{1}}=x_{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{Y}{\frac{1}{a}*p_{1}}=x_{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{Y}{\frac{p_{1}}{a}}=x_{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{Y}{1}*\frac{a}{p_{1}}=\frac{Y}{p_{1}}*a=x_{1} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank an alle Helfenden nochmal.

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