Summand in Produkt bei Vollst. Induktion

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17.02.2014, 09:26	Moriaty	Auf diesen Beitrag antworten »
Summand in Produkt bei Vollst. Induktion Ahoi, kann mir evtl. jmd erkl. wie ich diesen Schritt gehen kann bzw. was ich tun muss um das bei anderen Beispielen ebenfalls zu können? (n^2(n+1)^2 + 4(n+1)^3)/4 -> ((n+1)^2(n^2+4n+4))/4 Wie mache ich aus einem Summand ein Produkt?
17.02.2014, 09:46	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summand in Produkt bei Vollst. Induktion Dieser Trick nennt sich Ausklammern, auch bekannt als Herausheben, und basiert auf dem Distributivgesetz: $\begin{eqnarray} a\cdot b+a\cdot c=a\cdot(b+c) \end{eqnarray}$ . Konkret bedeutet das: wenn du gemeinsame Faktoren in allen Summanden hast, dann schreibst du die vorne hin und addierst die (von diesem Faktor befreiten) Reste der Summanden innerhalb der Klammer. In deinem Beispiel ist das a $\begin{eqnarray} (n+1)^2 \end{eqnarray}$ , denn $\begin{eqnarray} \frac{(n^2(n+1)^2 + 4(n+1)^3)}4=\frac{(n^2{\color{red}(n+1)^2}+4(n+1){\color{red}(n+1)^2})}4=\frac{{\color{red}(n+1)^2}(n^2+4(n+1))}4\cdots \end{eqnarray}$ Lg kgV
17.02.2014, 09:46	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Zauberwort heißt Distributivgesetz.
17.02.2014, 09:53	Moriaty	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahhh wie kann man das nicht sehen. Steckt hier immer das Distributivgesetz dahinter oder gibts es hier noch weitere Wege?
17.02.2014, 09:56	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich gibt es nur das Distributivgesetz, auch wenn man theoretisch auch ausmultiplizieren, dann entsprechend umsortieren und dann faktorisieren könnte Diese Möglichkeit sieht man dann aber wohl kaum
17.02.2014, 11:03	Moriaty	Auf diesen Beitrag antworten »
Weiß einer zufällig wie hier der erste Schritt der IS gemacht wird?
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17.02.2014, 11:11	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du dich auf die letzte Zeile beziehst, dann wurden da einfach die letzten beiden Summanden aus der Summe gezogen $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{2(n+1)}(-1)^k\frac 1k=\sum_{k=1}^{2n+2}(-1)^k\frac 1k=-\frac 11+\frac 12-\frac 13+\frac 14\cdots-\frac 1{2n-1}+\frac 1{2n}=\\\left(-\frac 11+\frac 12-\frac 13+\frac 14\cdots\right)-\frac 1{2n-1}+\frac 1{2n}=\left(\sum_{k=1}^{2n}(-1)^k\frac 1k\right)-\frac 1{2n-1}+\frac 1{2n} \end{eqnarray}$ Jetzt kann nämlich die IV eingesetzt werden
17.02.2014, 12:26	Moriaty	Auf diesen Beitrag antworten »
Bevor ich obiges verstehe ,) kurz hier zur Erklärung: Das Prinzip ist doch immer dasselbe oder? Ich muss eine Indexverschiebung vornehmen, so dass meine "zusätzlichen" Summanden an die IV angefügt werden können? In diesem Bsp. ist mein Index ja (2n-1) und dafür setze ich in der IS n+1 ein -> Index: (2(n+1)-1) = 2n+1. D.h. um wieder zurück zu meinem 2n-1 kommen zu können muss ich hier die letzten BEIDEN Summanden ADDIEREN? Das heißt ich setze zuerst den letzen Summand ein mit dem Index bzw. mit j = 2n+1 und danach den vorletzten Summanden mit j = 2n? Dann habe ich beide Summanden extrahiert und mein Index ist wieder 2n-1? Sofern diese Annahme richtig ist folgende Fragen. 1. Bei der Indexverschiebung laufe ich also immer ZURÜCK? 2. Was passiert mit (-1)^(2n)? Setzen die hier einfach j=1 ein 3. Wieso wird -(2n)^2 abgezogen? und wegen j=1 wird dann der Kram hier abgezogen? Sofern die einfach j=1 einsetzen wieso wird die 1 dann nicht in die anderen "n" eingesetzt? VIELEN DANK
17.02.2014, 12:27	Moriaty	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube (-1)^2n wird zu 1 da egal was n ist -1 immer positiv wird und das Gegenteil gilt für -1^2n-1 Die anderen Fragen sind aber offen . Bzw. die dritte habe ich mir selbst beantwortet. Aber es wäre schön wenn du mir sagst ob mein Vorgehen wie oben beschrieben immer korrekt ist
17.02.2014, 12:35	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Fliegender Beispielwechsel also Ja, deine Vermutung bezüglich der -1 stimmt: $\begin{eqnarray} (-1)^{2n}=\left((-1)^2\right)^n=1^n=1 \end{eqnarray}$ und umgekehrt für den anderen Fall Dann zu deinem Erklärungsversuch: du addierst die Summanden nicht direkt, die sind ja schon da (in der Summe). Alles was du machst, ist, sie herauszuziehen (dazu musst du dir wohl oder übel mein Beispiel von zuvor reinziehen ), damit du dann in der Summe den richtigen Index hast. Du addierst also nicht, sondern formst die Summe um. Der Rest deiner Erklärung passt 1. Ja, weil du bei der Induktion nach vorne gegangen bist (es gibt zwar Fälle, da musst du nach vorne, aber die spielen sich dann meistens im unteren Index ab und sind hier nicht weiter von Belang - bei Induktion über Summen immer zurück) 2.Sollte jetzt geklärt sein 3. Hängt mit 2. zusammen: weil $\begin{eqnarray} (-1)^{2n-1} \end{eqnarray}$ negativ ist, steht da dann $\begin{eqnarray} \cdots +(-1\cdot (2n)^2) \end{eqnarray}$ , was dann $\begin{eqnarray} -(2n)^2 \end{eqnarray}$ ergibt edit: hoppala, dann ist also auch die 3. schon klar Umso besser
17.02.2014, 18:26	Moriaty	Auf diesen Beitrag antworten »
. Ich bin evtl. etwas blind mittlerweile aber der Schritt von =IV zur nächsten Zeile? Ist das nur der Kehrwert?
17.02.2014, 18:29	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, da wurde innerhalb der Klammer der gemeinsame Nenner $\begin{eqnarray} 1+\frac 1n=\frac{n+1}n \end{eqnarray}$ gebildet und danach wurde die Potenz nach dem Potenzgesetz $\begin{eqnarray} \left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n} \end{eqnarray}$ aufgespalten. Damit kann im nächsten Schritt gekürzt werden
17.02.2014, 18:33	Moriaty	Auf diesen Beitrag antworten »
ahh man siehst du. ich seh nix mehr nach 8h VI ohne Pause. Wieso gilt n! * (n+1) = (n+1)! ?
17.02.2014, 18:40	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Das folgt aus der Definition der Fakultät: $\begin{eqnarray} (n+1)!=1\cdot 2\cdot 3\cdot\ldots\cdot n\cdot (n+1)={\color{red}(1\cdot 2\cdot 3\cdot\ldots\cdot n)}\cdot(n+1)={\color{red}n!}\cdot (n+1) \end{eqnarray}$
17.02.2014, 22:03	Moriaty	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke dir . Hier ist noch eine Vollst. Ind. Aufgabe bei jenen du mir evtl. helfen kannst. Bei nachfolgender Aufgabe wird ebenfalls "n+1" eingesetzt aber auf eine etwas andere Art?!. Damit diese Behauptung bewiesen werden kann wird sie einfach abgeleitet und die "n" natürlich im Rahmen der Ableitung zu n+1 (also nat. durch Regeln). Ich bin mir zum einen nicht sicher wieso die hier einfach ableiten? Heißt das hier, wenn ich einmal ableite und damit ja von n zu n+1 gehe, also eine Ableitung weiter gehe und meine Ableitung dieselbe Form wie meine Stammfkt. hat in welche ich statt n = n+1 einsetze bewiesen ist? Sofern dass stimmt nächste Frage: Wie genau wird hier abgeleitet. Wieso wird das a herausgezogen und n+1 ebenfalls? Für das dass wir in diesem Semester 0 Ableitungen getan haben sicherlich eine sehr gemeine Klausuraufg. Dennoch will ich es verstehen.
17.02.2014, 22:19	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig, hier zeigen sie einfach, dass die n+1-te Ableitung die gewünschte Form hat, und um den IS von n nach n+1 machen zu können, also um von der n-ten auf die n+1-te Ableitung zu kommen, müssen sie die Funktion ableiten. Soweit also alles richtig verstanden Wie genau hier abgeleitet wird, kann ich nicht sagen, weil ich nicht in dein Buch schauen kann, aber das sieht schwer nach der Quotientenregel aus... Ich leite das Ding einfach mal ab und kommentiere die wichtigen Stellen: $\begin{eqnarray} g^{(n+1)}(x)=(-1)^n\cdot \frac{\overbrace{(a^nn!)'}^{=0}(ax+b)^{n+1}-(ax+b)^{n+1})'a^nn!}{(ax+b)^{2n+2}} \end{eqnarray}$ Bisher habe ich einfach in die Formel der Quotientenregel eingesetzt (die -1 vorne ist konstant, bleibt also nach der Faktorregel erhalten Der erste Summand fliegt raus, weil die Ableitung einer Konstante immer Null ist (und $\begin{eqnarray} a^nn! \end{eqnarray}$ ist bezüglich x konstant), damit bleibt noch $\begin{eqnarray} g^{(n+1)}(x)=(-1)^n\cdot \frac{-(ax+b)^{n+1})'a^nn!}{(ax+b)^{2n+2}} \end{eqnarray}$ Jetzt ziehe ich das Minus nach vorne, das erhöht den Exponent: $\begin{eqnarray} g^{(n+1)}(x)=(-1)^{n+1}\cdot \frac{(ax+b)^{n+1})'a^nn!}{(ax+b)^{2n+2}} \end{eqnarray}$ Die noch zu machende Ableitung im Zähler erledige ich mit der Kettenregel: $\begin{eqnarray} (ax+b)^{n+1})'=a(n+1)(ax+b)^n \end{eqnarray}$ , dabei kommt das a von der inneren Ableitung, der Rest ist die äußere. Es ergibt sich also: $\begin{eqnarray} g^{(n+1)}(x)=(-1)^{n+1}\cdot \frac{a(n+1)(ax+b)^na^nn!}{(ax+b)^{2n+2}} \end{eqnarray}$ Potenzgesetze beim a und die Definition der Fakultät (siehe oben ) ergeben dann: $\begin{eqnarray} g^{(n+1)}(x)=(-1)^{n+1}\cdot \frac{(ax+b)^na^{n+1}(n+1)!}{(ax+b)^{2n+2}} \end{eqnarray}$ Jetzt noch kürzen: $\begin{eqnarray} g^{(n+1)}(x)=(-1)^{n+1}\cdot \frac{a^{n+1}(n+1)!}{(ax+b)^{n+2}} \end{eqnarray}$ Und voilà: qed Alles erklärt, was zu erklären war? sind noch Schritte unklar?

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