Bias einer Schätzfunktion berechnen

17.02.2014, 10:53

degude

Bias einer Schätzfunktion berechnen

Meine Frage:
Folgende Aufgabe verstehe ich nicht ,obwohl sie wahrscheinlich sehr einfach zu lösen ist:

Sei X1, ... Xn eine Stichprobe aus der Verteilung auf [0; $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ] stetig gleicherteilten Zufallsvariablen. Die folgenden Schätzfunktionen für $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ werden betrachtet.

T1 = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n} } \sum\limits_{i=1}^n Xi \end{eqnarray*}$

T2 = $\begin{eqnarray*} \frac{2}{n } \sum\limits_{i=1}^n Xi \end{eqnarray*}$

Gegeben ist n = 9 und $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ = 4
Wie berechnet man nun den Bias?

Meine Ideen:
Die Formel um den Bias zu berechnen habe ich mit Bias[T] = E( $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ )[T] - tau( $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ), aber ich verstehe nicht was ich wo einsetzen muss.

Wäre echt super wenn mir jemand das schnell erklären könnte.
Vielen Dank dafür schon mal

17.02.2014, 12:15

Kasen75

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Hallo,

Bei mir ist die Formel für den Bias gleich $\begin{eqnarray*} b(\hat \theta, \theta)=E( \hat \theta)-\theta \end{eqnarray*}$ .

Hier ist $\begin{eqnarray*} T_1=\hat \theta \end{eqnarray*}$

Somit ist erst einmal allgemein $\begin{eqnarray*} E( {T_1}) \end{eqnarray*}$ zu berechnen.
Hilfreich ist zu wissen, dass der Erwartungswert, $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ , einer stetigen Gleichverteilung gleich $\begin{eqnarray*} \frac{a+b}{2} \end{eqnarray*}$ ist.

Grüße.

17.02.2014, 12:33

degude

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Ok das hilft mir schon mal weiter.
Die Verzerrung (Bias) ist ja Schätzung minus tatsächlicher Wert.
Meine Idee:
Da n = 9 somit a = 1 und b = 9 und der E(T1) = $\begin{eqnarray*} \frac{1 + 9}{2} \end{eqnarray*}$ = 2
Mit $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ = 4 ergibt sich Bias = 2 - 4 = -2
Dann wäre aber T1 = T2, das bezweifel ich...
Ich komme echt nicht weiter traurig

Vielen Dank für die Antwort Freude

17.02.2014, 12:41

Kasen75

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a=0 und nicht a=1. Und $\begin{eqnarray*} b=\gamma \end{eqnarray*}$
n ist gleich 9.

Wie gesagt, erst einmal $\begin{eqnarray*} E(T_1)= E\left( \frac{1}{\sqrt{n} } \sum\limits_{i=1}^n X_i \right) \end{eqnarray*}$ berechnen-ohne Einsetzung der Werte für die Parameter.

17.02.2014, 13:16

degude

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Ok, genau da liegt das Problem Big Laugh

ich weiß für $\begin{eqnarray*} E(\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n Xi) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$
Ich würde vermuten für E(T1) = $\begin{eqnarray*} \sqrt{\mu} \end{eqnarray*}$
und E(T2) = 2 $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$

Jetzt verstehe icch aber nicht wie ich weiter machen soll verwirrt

17.02.2014, 13:24

Kasen75

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Zitat:

Original von degude
Ok, genau da liegt das Problem Big Laugh

ich weiß für $\begin{eqnarray*} E(\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n Xi)=\mu \end{eqnarray*}$ (mü)

Genau.

Das kannst du dann verwenden, wenn du damit anfängst was ich in den letzten Beiträgen vorgeschlagen habe.
Wie du auf deine Vermutungen kommst kann ich ohne Darlegung der Zwischenschritte nicht nachvollziehen.

17.02.2014, 13:35

degude

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Die Idee war E[2x] = 2E[x],

$\begin{eqnarray*} E(\frac{2}{n} \sum\limits_{i=1}^n Xi) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 2 * E(\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n Xi) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 2 \mu \end{eqnarray*}$

Bei T1 bin ich genauso vorgegangen, war mir aber nicht sonderlich sicher. Sonst wüsste ich nicht wie...

Wenn ich dann mein $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ habe muss ich $\begin{eqnarray*} \frac{a + \gamma}{2} = \frac{0 + 4}{2} = 2 \end{eqnarray*}$ davon subtrahieren und habe dann meinen Bias?

17.02.2014, 13:52

Kasen75

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Zitat:

Original von degude

Wenn ich dann mein $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ habe muss ich $\begin{eqnarray*} \frac{a + \gamma}{2} = \frac{0 + 4}{2} = 2 \end{eqnarray*}$ davon subtrahieren und habe dann meinen Bias?

Was du hier berechnet hast, ist dein Wert für $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ . Den kannst du jetzt hier

Zitat:

Original von degude
Die Idee war E[2x] = 2E[x],

$\begin{eqnarray*} E(\frac{2}{n} \sum\limits_{i=1}^n Xi) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 2 * E(\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n Xi) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 2 \mu \end{eqnarray*}$

einsetzen. Dann hast du $\begin{eqnarray*} E(T_2) \end{eqnarray*}$ bei einem Gammawert von 4.

Der Bias ist dann $\begin{eqnarray*} E(T_2)-\gamma \end{eqnarray*}$ .

Genauso kannst du bei $\begin{eqnarray*} T_1 \end{eqnarray*}$ vorgehen.

17.02.2014, 14:01

degude

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Vielen lieben Dank, ich werde mich nun an T1 machen smile

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