Wert einer Reihe

17.02.2014, 14:01	Hannahh	Auf diesen Beitrag antworten »
Wert einer Reihe Meine Frage: Hallo, ich möchte den Wert der folgenden Reihe bestimmen: $\begin{eqnarray} <br /> \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{n(n+1)}{3^{n}}<br /> <br /> \end{eqnarray}$ Meine Ideen: ich versuchte das ganze mit der Binomischen Reihe zu lösen, ohne Erfolg, ich konnte die Reihe auch nicht in eine geometrische Reihe umwandeln. könnte mir bitte jemand einen Denkanstoss geben, wie ich das Ding lösen könnte. Vielen Dank Hannah
17.02.2014, 14:10	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wert einer Reihe Eine Möglichkeit wäre, ausgehend von der geometrischen Reihe die Funktion $\begin{eqnarray} f(x)= \sum_{n=0}^{\infty} x^{-n} = 1 \color{blue}+\color{black} \frac{1}{x-1} \end{eqnarray}$ zwei Mal zu differenzieren (was innerhalb des Konvergenzradius' erlaubt ist und komponentenweise geht). So kriegst du schon mal die Faktoren n und (n+1) rein. Eine geschlossene Darstellung des Reihenwertes behält man dann auf der rechten Seite der Gleichung bei. Dieser lässt sich dann am Ende für x=3 auswerten. Edit: Vorzeichenfehler ( ) behoben, danke HAL.
17.02.2014, 17:16	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
immer die verflixten Vorzeichen $\begin{eqnarray} f(x)= \sum_{n=0}^{\infty} x^{-n} = 1 {\color{red}+} \frac{1}{x-1} \end{eqnarray}$
18.02.2014, 11:54	Grautvornix	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wert einer Reihe Ganz ohne Differential- u. Integralrechnung kommt man hier mit dem Cauchyprodukt ans Ziel. Zeige dazu zunächst: $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty n x^n=\frac x{(1-x)^2} \end{eqnarray}$ indem du die rechte Seite von $\begin{eqnarray} \left(\frac 1{1-x}\right)^2=\sum_{n=0}^\infty x^n\cdot\sum_{n=0}^\infty x^n \end{eqnarray}$ als Cauchyprodukt berechnest. Mit diesem Resultat folgt $\begin{eqnarray} \frac x{(1-x)^3}=\sum_{n=0}^\infty nx^n\cdot\sum_{n=0}^\infty x^n \end{eqnarray}$ und wiederum ist die rechte Seite als Cauchyprodukt auszuwerten. Und dann steht's auch schon da...

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