Ebenenschar Et, Schnittgerade s und eine Ebene F die nicht zu Et gehört. |
| 17.02.2014, 21:03 | pille191 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Ebenenschar Et, Schnittgerade s und eine Ebene F die nicht zu Et gehört. Hallo ihr lieben, Das ist meine erste Frage in einem Mathe Forum, also seid bitte nachsichtig mit mir. Zur Aufgabe: Gegeben: Ebenenschar: Et: -x1+tx2+(2t+1)x3 = -4 Te{R Nr c: Es gibt genau eine Ebene F, die zwar die Schnittgerade s enthält, aber nicht zur Ebenenschar gehört. Bestimmen sie die Gleichung von F. Ich weiß allerdings nicht, wie ich weiter vorgehen soll. Ein kleiner Tipp würde mir eventuell helfen. Vielen Dank Schonmal Meine Ideen: Aufgabe b: Alle Ebenen Et besitzten eine gemeinsame Schnittgerade, berechnen sie diese: Ich habe für t=0 und t=1 die Schnittgerade berechnet und komme auf: s:x = (4/0/0) + t* (1/-2/1) Bis dahin habe ich keine Probleme, ich hoffe die Schnittgerade stimmt^^. zu c) Ich habe mir jetzt überlegt, dass eine Bedingung für F ist, dass der richtungsvektor der Geraden mit dem Normalenvektor multipliziert (Skalarprodukt) gleich null ergeben muss. |
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| 18.02.2014, 00:05 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die Schnittgerade ist korrekt. Deine Überlegung ist zwar zutreffend, jedoch haben diese Eigenschaft auch die Normalvektoren aller anderen Ebenen der Schar. Eine andere - zielführendere - Überlegung ist fogende: Subtrahiert man die Gleichungen zweier beliebiger Ebenen der Schar, so erhält man die Gleichung einer weiteren Ebene, die die Schnittgerade enthält*. Sie muss aber nicht notwendigerweise der Schar angehören. Kannst du etwas damit anfangen? (*) Das ist bereits durch die lgebraischen Zusammenhänge gegeben, denn mit dieser Methode ist auch die Schnittgerade zu ermitteln. mY+ |
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| 18.02.2014, 19:30 | pille191 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo, Schonmal danke für deine Hilfe. Leider haben wir das subtrahieren von Gleichungen nicht behandelt. Ich habe es einfach mal so versucht wie ich es mir vorstelle: E1-E2 -x1+x2+3x3+4=0 -(-x1+2x2+5x3+4=0) -------- -x2-2x3=0 Für diese Ebene ergibt das Skalarprodukt mit der Gerade s =0. Auch der beliebige Punk (Stützvektor) liegt in der Ebene. Also müsste ich ja im Grunde die Ebene haben, da diese Ebene keine Ebene von Et darstellt. Meine Frage ist, ob die Ebene stimmt, und ob man noch auf anderem Wege auf diese nicht zur Ebenenscharf Et gehörende Ebene kommen kann. Denn so einen Lösungsweg haben wir nicht besprochen. Vielen Dank für deine Hilfe. |
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| 19.02.2014, 09:46 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das Addieren/Subtrahieren von Gleichungen eines System ist eine fundamentale Umformung, welche bereits in der 8. Schulstufe bekannt sein sollte. Deswegen müsst ihr dies auch nicht "behandelt" haben, und ihr werdet es auch nicht mehr tun. In der gegebenen Schar ist die Subtraktion/Addition die einzige Möglichkeit, um zu weiteren Ebenen zu gelangen, die durch dieselbe Schnittgerade gehen (Prinzip des --> Ebenenbüschels). Wenn diese Ebenen nicht zur Schar gehören sollen, müssen ihre Normalvektoren vom Schema derer der Schar: [-1; t; 2t + 1] signifikant abweichen. Nach der Subtraktion zweier Gleichungen (mit den Parametern t1, t2) lautet der Normalvektor der resultierenden Ebene [0; t1 - t2, 2(t1 - t2)] oder [0; r; 2r]. Dieser kann nicht mehr in einen Normalvektor irgeneiner Ebene der Schar übergeführt werden. Daraus ist unmittelbar ersichtlich, dass die Gleichung dieser Ebene x2 + 2x3 = 0 lautet. Daher stimmt auch deine Ebene. mY+ |
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