Fourierreihe cos(x)

17.02.2014, 23:12	Evaneszent	Auf diesen Beitrag antworten »
Fourierreihe cos(x) Hallo, ich stehe vor der Aufgabe folgende Fourierreihe zu entwickeln: $\begin{eqnarray} f(x)= \begin{cases} 0 & x \in [-\pi, -\frac{\pi}{2})\\ cos(x) & x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \\ 0 & x \in [\frac{\pi}{2}, \pi) \end{cases} \end{eqnarray}$ habe auch schon $\begin{eqnarray} a_{0} = \frac{2}{\pi} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{k} = \frac{2(-1)^\frac{k}{2} }{\pi(1-k^2)} \end{eqnarray}$ berechnet ab hier treten dann bei mir Schwierigkeiten auf. Prinzipiell sollte die Funktion ja gerade sein und damit ja $\begin{eqnarray} b_{k} = 0 \end{eqnarray}$ sein. Nur wenn ich die Kurve $\begin{eqnarray} F(x)=\frac{1}{\pi}+\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{2(-1)^k }{\pi(1-(2k)^2)}cos(2kx) \end{eqnarray}$ plote, fehlen die Lücken und die "Hügel" gehen nur bis 0.5 . nachdem ich nun $\begin{eqnarray} b_{k} = \frac{2(k-sin(\frac{\pi}{2}k )) }{\pi(k^2-1)} \end{eqnarray}$ berechnet habe sieht der Plot von $\begin{eqnarray} F(x)=\frac{1}{\pi}+\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{2(-1)^k }{\pi(1-(2k)^2)}cos(2kx)+\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{2(2k) }{\pi((2k)^2-1)}sin(2kx) \end{eqnarray}$ schon besser aus, nur fehlen mir noch ein paar Teile. Z.B. der Part der die $\begin{eqnarray} ungeraden \:k\: von\: b_{k} \end{eqnarray}$ abdeckt. Hoffe ihr könnt mir da helfen. Sollte ich auf dem Wolzweg sein, gebt mir bitte bescheid! Vielen Dank schon mal!
18.02.2014, 09:39	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fourierreihe cos(x) Die Koeffzientengleichung $\begin{eqnarray} a_k = \frac{2(-1)^\frac{k}{2} }{\pi(1-k^2)} \end{eqnarray}$ ist merkwürdig, denn jedes zweite Glied ist imaginär und der Fall k=1 sieht auch seltsam aus. Prüfe da mal Deine Rechnung, dann geht's auch ohne die (hier in der Tat unangebrachten) bk. Viele Grüße Steffen
18.02.2014, 10:25	Evaneszent	Auf diesen Beitrag antworten »
Steffen, vielen Dank fürs anschauen. Ich habe die Koeffizientengleichung nochmals mit $\begin{eqnarray} a_{k} = \frac{1}{\pi} \int_\frac{-\pi}{2}^\frac{\pi}{2} \! cos(x)cos(kx) \, dx \end{eqnarray}$ berechnet und bekommen immer das gleiche raus. Ob $\begin{eqnarray} a_k =-\frac{2cos(\frac{\pi}{2} k)}{\pi(k^2-1)} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} a_k =\frac{2}{\pi(k^2-1)}sin((k-1)\frac{\pi}{2}) \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} a_k = \frac{2(-1)^\frac{k}{2} }{\pi(1-k^2)} \end{eqnarray}$ mit einer Fallunterscheidung zwischen geraden und ungeraden k führt zum gleichen Ergebnis. Der entscheidende Hinweis war der Fall k=1, wobei $\begin{eqnarray} a_{1}=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ gilt. $\begin{eqnarray} F(x)=\frac{1}{\pi}+\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{2(-1)^k }{\pi(1-(2k)^2)}cos(2kx)+\frac{1}{2}cos(x) \end{eqnarray*}$ Zeigt nun genau die gefragte Kurve!

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