Potenzmenge unendlicher Menge nicht abzählbar

18.02.2014, 14:07

EBSC

Potenzmenge unendlicher Menge nicht abzählbar

Meine Frage:
Hi,
Ich weiß, dass die Potenzmenge einer unendlichen Menge nicht abzählbar ist. Kenne dafür auch einen Beweis. Nun habe ich allerdings folgenden Beweis gefunden, den ich nicht so recht nachvollziehen kann:

M eine unendliche Menge.
Behauptung: P(M) ist nicht abzählbar. Wobei P(M) die Potenzmenge von M ist.

Beweis durch Widerspruch:
Angenommen P(M) ist abzählbar. Bezeichen dann mit N1, N2, N3, N4 ... die Elemente von P(M). Konstruiere N nun wie folgt:
$\begin{eqnarray*} N = \left\{ n_{i}| \notin N_{i} \right\} \end{eqnarray*}$ . Dann gilt also $\begin{eqnarray*} N \neq N_{i} \end{eqnarray*}$ für alle i aus den Natürlchen Zahlen. Was ein Widerspruch ist.

Meine Ideen:
Mein Problem ist nun folgendes:
N1, N2 ... ist eine Aufzählung von allen Teilmengen von M, also insbesondere ist auch M selbst in dieser Aufzählung enthalten. O.B.d.A sei N1 = M.
"Konstruiere" ich nun die Menge N, tritt doch folgendes Problem auf:
$\begin{eqnarray*} n_{1} \in N \Rightarrow n_{1} \notin N_{1} = M \end{eqnarray*}$ das kann doch aber nicht sein oder?

Ich bedanke mich für eure Hilfe smile

18.02.2014, 14:28

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von EBSC
Konstruiere N nun wie folgt:
$\begin{eqnarray*} N = \left\{ n_{i}| \notin N_{i} \right\} \end{eqnarray*}$ . Dann gilt also $\begin{eqnarray*} N \neq N_{i} \end{eqnarray*}$ für alle i aus den Natürlchen Zahlen. Was ein Widerspruch ist.

Schlampig aufgeschrieben: Anscheinend meinst du $\begin{eqnarray*} N = \left\{ n_{i} \mid n_i\notin N_{i} \right\} \end{eqnarray*}$ , wobei mit den $\begin{eqnarray*} n_i \end{eqnarray*}$ die Elemente der Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ gemeint sind, d.h. $\begin{eqnarray*} M= \{ n_1,n_2,\ldots \} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von EBSC
"Konstruiere" ich nun die Menge N, tritt doch folgendes Problem auf:
$\begin{eqnarray*} n_{1} \in N \Rightarrow n_{1} \notin N_{1} = M \end{eqnarray*}$ das kann doch aber nicht sein oder?

Da ist kein Problem: Da in jedem Fall $\begin{eqnarray*} n_1\in N_1=M \end{eqnarray*}$ gilt, so ist laut Definition von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} n_1\not\in N \end{eqnarray*}$ - wieso soll das nicht sein können? Augenzwinkern

18.02.2014, 15:13

EBSC

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Oh, ja natürlich, da habe ich etwas "vergessen", tut mir leid.

Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Okay, mein "Problem" is nun aber wie folgt: (Ich nehme jetzt einfach mal an das M die Natürlichen Zahlen sind.) Dann gilt ja N1 = M = Natürlichen Zahlen. Jetzt Konstruiere ich mir meine Menge $\begin{eqnarray*} N = \{ n_{1}, n_{2} \dots \} \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} n_{1} \in N \end{eqnarray*}$ muss jetzt gelten: $\begin{eqnarray*} n_{1} \notin N_{1} = M \end{eqnarray*}$ das trifft aber auf kein Element in M zu, da ja M die Natürlichen Zahlen sind. Mein $\begin{eqnarray*} n_{1} \end{eqnarray*}$ ist also ein "leeres Element". Also ist mein "nächstes" $\begin{eqnarray*} n_{2} \end{eqnarray*}$ mein eigentliches "erstes" Element in N. Wobei für $\begin{eqnarray*} n_{2} \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} n_{2} \notin N_{2} \end{eqnarray*}$ . Für die restlichen $\begin{eqnarray*} n_{i} \end{eqnarray*}$ geht man nun analog vor. Ist das soweit denn richtig?

Ich bedanke mich recht herzlich für deine Antwort Wink

18.02.2014, 15:42

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von EBSC
Dann gilt ja N1 = M = Natürlichen Zahlen. Jetzt Konstruiere ich mir meine Menge $\begin{eqnarray*} N = \{ n_{1}, n_{2} \dots \} \end{eqnarray*}$

Hatten wir das nicht gerade besprochen? Forum Kloppe

Wenn du "O.B.d.A." $\begin{eqnarray*} N_1=M \end{eqnarray*}$ festlegst, dann ist zwingend $\begin{eqnarray*} n_1\not\in N \end{eqnarray*}$ laut Defintion von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ - da kannst du doch nicht schon wieder mit diesem dann unsinnigen $\begin{eqnarray*} n_1\in N \end{eqnarray*}$ daherkommen. unglücklich

Irgendwie verzettelst du dich, kämpfst auf dem falschen Schlachtfeld: Es ist vollkommen wurst, wie $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ im Detail aussieht, es ist nur wichtig, dass $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ laut Definition auch eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist und es somit ein $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} N=N_i \end{eqnarray*}$ geben muss. Und jetzt richtet sich der Fokus auf die Frage: Ist $\begin{eqnarray*} n_i\in N_i \end{eqnarray*}$ ?

18.02.2014, 16:19

EBSC

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von EBSC
Dann gilt ja N1 = M = Natürlichen Zahlen. Jetzt Konstruiere ich mir meine Menge $\begin{eqnarray*} N = \{ n_{1}, n_{2} \dots \} \end{eqnarray*}$

Hatten wir das nicht gerade besprochen? Forum Kloppe

Das wollte ich oben mit dem "leeren Element" ausdrücken. Was natürlich blöd ist, weil was soll das sein?.
Nun denn, also ist $\begin{eqnarray*} n_{1} \notin N \end{eqnarray*}$ .
Was is nun aber wenn man folgende Teilmengen von M hat:
N2 = {2,3,4,5,6,7...}
N3 = {1,3,4,5,6,7...}
N4 = {1,2,4,5,6,7...}
N5 = {1,2,3,5,6,7...}

Dann gilt doch: $\begin{eqnarray*} n_{2} = 1, n_{3} = 2, n_{4} = 3, n_{5} = 4 ... \end{eqnarray*}$
Also N = {1,2,3,4 ...} = M = N1 ??

Irgendwie möchte das nicht in meinen Kopf , tut mir leid traurig

18.02.2014, 16:23

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Offenbar hast du es nicht mitgekriegt, also wiederhole ich es nochmal:

Zitat:

Original von HAL 9000
Irgendwie verzettelst du dich, kämpfst auf dem falschen Schlachtfeld: Es ist vollkommen wurst, wie $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ im Detail aussieht, es ist nur wichtig, dass $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ laut Definition auch eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist und es somit ein $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} N=N_i \end{eqnarray*}$ geben muss. Und jetzt richtet sich der Fokus auf die Frage: Ist $\begin{eqnarray*} n_i\in N_i \end{eqnarray*}$ ?

Dennoch ein letztes Wort zu deinen fürchterlichen Beispielen:

Zitat:

Original von EBSC
N2 = {2,3,4,5,6,7...}
N3 = {1,3,4,5,6,7...}
N4 = {1,2,4,5,6,7...}
N5 = {1,2,3,5,6,7...}

Dann gilt doch: $\begin{eqnarray*} n_{2} = 1, n_{3} = 2, n_{4} = 3, n_{5} = 4 ... \end{eqnarray*}$
Also N = {1,2,3,4 ...} = M = N1 ??

Klären wie ein für allemal dein verfluchtes Symbolchaos: Oben noch war $\begin{eqnarray*} M=\{n_1,n_2,n_3,\ldots,\} \end{eqnarray*}$ , daran habe ich mich die ganze Zeit gehalten - nur du nicht: Du legst plötzlich andere Bedeutungen für die $\begin{eqnarray*} n_i \end{eqnarray*}$ fest - da ist doch ein besch...es Vorgehen. Forum Kloppe

Also gut, nochmal "Neustart": $\begin{eqnarray*} M=\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit angenommen abzählbaren $\begin{eqnarray*} P(M) = \{N_1,N_2,\ldots\} \end{eqnarray*}$ , und du definierst dann $\begin{eqnarray*} N = \{ i \mid i\not\in N_i\} \end{eqnarray*}$

Jetzt nehmen wir uns mal deine konkreten Beispielteilmengen vor:

Es ist $\begin{eqnarray*} 1\in N_1=M \end{eqnarray*}$ , also in $\begin{eqnarray*} 1\not\in N \end{eqnarray*}$ .
Es ist $\begin{eqnarray*} 2\in N_2 \end{eqnarray*}$ , also in $\begin{eqnarray*} 2\not\in N \end{eqnarray*}$ .
Es ist $\begin{eqnarray*} 3\in N_3 \end{eqnarray*}$ , also in $\begin{eqnarray*} 3\not\in N \end{eqnarray*}$ .
Es ist $\begin{eqnarray*} 4\in N_4 \end{eqnarray*}$ , also in $\begin{eqnarray*} 4\not\in N \end{eqnarray*}$ .
Es ist $\begin{eqnarray*} 5\in N_4 \end{eqnarray*}$ , also in $\begin{eqnarray*} 5\not\in N \end{eqnarray*}$ .

Es ist also ganz im Gegensatz zu deiner Darstellung so, dass 1...5 sämtlich nicht in $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ enthalten sind!

Du hingegen scheinst die Definition vollständig missverstanden zu haben, als gelte es $\begin{eqnarray*} n_i \end{eqnarray*}$ zu finden, die nicht in $\begin{eqnarray*} N_i \end{eqnarray*}$ liegen - Unfug! Die $\begin{eqnarray*} n_i \end{eqnarray*}$ liegen fest, und es ist die Entscheidung, ob $\begin{eqnarray*} n_i\in N_i \end{eqnarray*}$ gilt oder nicht, die zu einer Aufnahme von $\begin{eqnarray*} n_i \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ führt!!! geschockt

18.02.2014, 17:11

EBSC

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000

Du hingegen scheinst die Definition vollständig missverstanden zu haben, als gelte es $\begin{eqnarray*} n_i \end{eqnarray*}$ zu finden, die nicht in $\begin{eqnarray*} N_i \end{eqnarray*}$ liegen - Unfug! Die $\begin{eqnarray*} n_i \end{eqnarray*}$ liegen fest, und es ist die Entscheidung, ob $\begin{eqnarray*} n_i\in N_i \end{eqnarray*}$ gilt oder nicht, die zu einer Aufnahme von $\begin{eqnarray*} n_i \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ führt!!! geschockt

Danke, das war tatsächlich mein Problem. Jetzt macht der Beweis auf einmal völlig Sinn. Augenzwinkern

Ich bedanke mich bei dir für dein Gedult, echt klasse das du mein Problem aus der Welt schaffen konntest, vielen lieben Dank!!.
Ich glaube alleine hätte ich noch einige viele Tage benötigt um von selbst darauf zu kommen geschockt

Dir noch einen schönen Tag Wink

Neue Frage »

Antworten »

Potenzmenge unendlicher Menge nicht abzählbar

Verwandte Themen