Klausurvorbereitung: Differentialgleichungen, L-Transformationen...

18.02.2014, 14:46	alosch	Auf diesen Beitrag antworten »
Klausurvorbereitung: Differentialgleichungen, L-Transformationen... Hallo liebe Leute, ich schreibe in absehbarer Zeit eine Klausur, in der es um Integrale, Differentialgleichungen, Laplace-Transformationen, Faltungsgleichungen usw geht. Krankheitsbedingt konnte ich nur einen Teil der Vorlesungen mitnehmen, sodass es mir in einigen Bereichen nun an Wissen fehlt - Integrale gehen, kenn ich noch aus dem letzten Semester, das ist nicht das Problem. Aber danach wird's kritisch, und auch youtube-Videos oder die Vorlesungsfolien sind nicht wirklich aussagekräftig, wie ich feststellen musste. Ich habe eine alte Probeklausur gefunden, welche die Themen ganz gut abdecken sollte - Aufgabe 1 (Integrale) ist wie erwähnt nicht das Ding, aber die darauffolgenden machen mir das Leben echt schwer. Daher meine Frage/Bitte: Kann mir jemand die Vorgehensweisen/Lösungswege skizzieren, wie man mit solchen Sachen umgeht? Komplette Rechnungen wären sicherlich von Vorteil für die Nachvollziehbarkeit, aber der Lösungsweg an und für sich wäre schon Gold wert, damit ich an die Themen herankomme... Danke im Voraus für die Mühe, Alex
18.02.2014, 18:15	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klausurvorbereitung: Differentialgleichungen, L-Transformationen... 1a) $\begin{eqnarray} A= 2 \int_0^\infty \! e^{-x} \, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =2 \end{eqnarray}$ 1b) i) Substitution : $\begin{eqnarray} z= x^2 und <br /> v= cos (z) \end{eqnarray}$ ii) Substitution : $\begin{eqnarray} z= x^2 \end{eqnarray}$ dann Partialbruchzerlegung 1c) $\begin{eqnarray} z= ln(x) \end{eqnarray}$ Zu DGL Punkt 3: a) (Laplace - Transformation) Hier erstmal eine kleine Übersicht dazu . http://www.formel-sammlung.de/ld-Laplace-Transformation-1182.html Die folgenden Ansätze leiten sich aus dem Differentationssatz her: $\begin{eqnarray} y= F(s) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y'= -y(0) +s F(s) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y'' = -s y(0) - y'(0) +s^2 F(s) \end{eqnarray}$ Jetzt mußt Du die entsprechenden Anfangsbedingungen einsetzen und dann $\begin{eqnarray} y'' , y' , y \end{eqnarray}$ in der Aufgabe durch die Ansätze ersetzen. Du erhälst: $\begin{eqnarray} 2s -4 +s^2 F(s) +8 +4s F(s) +4 F(s) = LT ( e^{-2t}) \end{eqnarray}$ für LT (rechte Seite) gibt es Tabellen. Das Ganze muß nun zusammengefasst werden und nach F(s) umgestellt werden. Jetzt muß alles wieder zurücktransformiert werdem (inverse LT). Auch hierfür gibt es Tabellen , die Du haben solltest.(oder mttels Partialbruchzerlegung) Lösung: $\begin{eqnarray} f(t)= \frac{t^{2} }{2} e^{-2t } -2 e^{-2t} \end{eqnarray}$ b) Trennung der Variablen Hier ein allgemeiner Link dazu : $\begin{eqnarray} http://www.mp.haw-hamburg.de/pers/Vassilevskaya/download/m2/dgl/trennbar/tren-variable-1.pdf \end{eqnarray}$ Ersetze y'= $\begin{eqnarray} dy/dx \end{eqnarray}$ Wie der Name sagt , trenne die Variablen , indem Du z. B . alles mit y nach links und alles mit x nach rechts bringst. Setze dann zum Schluß die Anfangsbedingung ein um C zu ermitteln. Setze dann C in der Lösung ein.. Lösung: $\begin{eqnarray} y= \frac{2}{2 - e^{\frac{x^2}{2} } } \end{eqnarray}$

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