Determinante

18.02.2014, 16:11	tigerentenfrosch	Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante Meine Frage: Hallo, kann mir bitte jemand erklären, was multilinear bzgl. Determinanten bedeutet? Meine Ideen: Ich hab schon die ganze Zeit eine Erklärung versucht zu finden. Die Abb. D ist eine Determinante, falls gilt, dass D normiert, alternierend und multilinear in den Spalten ist, ist die Def. Wir haben in der Def. eine Spaltenmatrix M und in der i-ten Spalte dieser Matrix haben wir lamda a1+ mü b1 in der ersten Zeile und in der letzten dann lamda an+ mü bn. (Determinanten bilden kann ich.) Ich verstehe bloß nicht, was allg. da die Multilinearität bedeutet, ich stehe da grad aufm Schlauch? Danke
18.02.2014, 18:17	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Seien V und W Vektorräume über einem Körper K. Eine Abbildung $\begin{eqnarray} \varphi:V\to W, x\to \varphi(x) \end{eqnarray}$ heißt linear, wenn $\begin{eqnarray} \forall x,y\in V,\forall a,b \in K : \varphi(ax+by)=a\varphi(x)+b\varphi(y) \end{eqnarray}$ . Eine Abbildung $\begin{eqnarray} \phi:V^n\to W, (x_1,...,x_n)\to \phi(x_1,...,x_n) \end{eqnarray}$ heißt n-fach linear oder multilinear, wenn für ein $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \forall x_1,...,x_n,y_1,...,y_n\in V^n,\forall a,b \in K, \forall i\in \{1,...,n\} : \phi((x_1,...,ax_i,...,x_n)+(y_1,...,by_i,...,y_n))=a\phi(x_1,...,x_n)+b\phi(y_1,...,y_n) \end{eqnarray}$ . Die Determinantenabbildung $\begin{eqnarray} det :M(n,n) \to K, M\to det(M) \end{eqnarray}$ ist multilinear in den Spalten und Zeilen von Matrizen.

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