Einheitswurzel in endlichem Koerper

18.02.2014, 16:50

mookoo

Einheitswurzel in endlichem Koerper

Meine Frage:
In einem Koerper K=GF(2)\x^2+x+2 werden alle 8-ten Einheitswurzeln gesucht. Welche davon sind primitiv.

Meine Ideen:
Die Menge Einheitswurzel muessen ja eine Untergruppe von K* bilden. Weiterhin muss das entsprechende Polynom in der 8. Potenz 1 ergeben.
Ist die Folgerung daraus, dass 1 eine Einheitswurzel ist, richtig?
Muss diese Eigenschaft mit jeden Element aus K* getestet werden oder gibt es einen effektiveren Weg das zu bestimmen?
Die Primitivitaet der entsprechenden Polynome koennte man durch ihre Eigenschaft den Koerper K* zu erzeugen ueberpruefen.
Weiterhin wuerde mich interessieren, ob es noch andere Einheitswurzeln (Gruppenordnung kann ja nach Lagrange nur 1,2,4 oder 8 sein) gibt und nach welchen Kriterien man diese findet bzw. ueberprueft ob sie vorhanden sind?

18.02.2014, 17:19

Captain Kirk

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Hallo,

Zitat:

K=GF(2)\x^2+x+2

Was soll das denn darstellen? x²+x+2 ist kein Element von GF(2), eher von GH(2)[x], und wieso Mengengendifferenz?

Zitat:

Weiterhin muss das entsprechende Polynom in der 8. Potenz 1 ergeben.

Was meinst du mit: Das entsprechende Polynom? Kreisteilungpolynom?

Zitat:

Ist die Folgerung daraus, dass 1 eine Einheitswurzel ist, richtig?

Auch wenn ich nicht verstehe woraus: 1 ist in jedem Körper und für jede natürliche Zahl n eine Einheitswurzel nach Definition.

Zitat:

Muss diese Eigenschaft mit jeden Element aus K* getestet werden oder gibt es einen effektiveren Weg das zu bestimmen?

Welche Eigenschaft?

18.02.2014, 17:36

mookoo

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Zitat:

Original von Captain Kirk
Hallo,

Zitat:

K=GF(2)\x^2+x+2

Was soll das denn darstellen? x²+x+2 ist kein Element von GF(2), eher von GH(2)[x], und wieso Mengengendifferenz?

Sorry, das ist ein Vertipper - es geht um GF(3)[x] und das darin primitive Polynom x²+x+2.
Die Schreibweise stellt den endlichen Koerper mit den Elementen 0,1,x,2x,x+1,x+2,2x+1,2x+2 dar.

Zitat:

Weiterhin muss das entsprechende Polynom in der 8. Potenz 1 ergeben.

Was meinst du mit: Das entsprechende Polynom? Kreisteilungpolynom?

Das Polynom, was die Einheitswurzel ist.

Zitat:

Ist die Folgerung daraus, dass 1 eine Einheitswurzel ist, richtig?

Auch wenn ich nicht verstehe woraus: 1 ist in jedem Körper und für jede natürliche Zahl n eine Einheitswurzel nach Definition.

Ok, das hatte ich auch vermutet - Ich vermute aber auch, dass das nicht die komplette Gruppe der Einheitswurzel ist.

Zitat:

Muss diese Eigenschaft mit jeden Element aus K* getestet werden oder gibt es einen effektiveren Weg das zu bestimmen?

Welche Eigenschaft?

Die Eigenschaft Einheitswurzel zu sein.

18.02.2014, 17:52

Captain Kirk

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Zitat:

Sorry, das ist ein Vertipper - es geht um GF(3)[x] und das darin primitive Polynom x²+x+2. Die Schreibweise stellt den endlichen Koerper mit den Elementen 0,1,x,2x,x+1,x+2,2x+1,2x+2 dar.

Also $\begin{eqnarray*} GF(3)[x]/(x^2+x^2) \cong GF(9) \end{eqnarray*}$ .
Wobei das ein extrem folgenreicher Vertipper ist, es macht einen massiven Unterschied bei n-ten Einheitswurzeln ob (char K)|n oder nicht.

Zitat:

Das Polynom, was die Einheitswurzel ist.

Ein Polynom ist keine Einheitswurzel.

Übrigens enthält der Körper 8 8-te Einheitswurzeln. Das ergibt sich mit etwas elementarer Gruppentheorie (Satz von Lagrange z.B.). Die Anzahl der primitiven EW ergibt sich z.B. mit Kenntnis der Struktur von $\begin{eqnarray*} K^* \end{eqnarray*}$ .

Sollte das nicht zur Verfügung stehen bleibt nur händisches nachrechnen.

18.02.2014, 18:07

mookoo

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Zitat:

Original von Captain Kirk
Also $\begin{eqnarray*} GF(3)[x]/(x^2+x^2) \cong GF(9) \end{eqnarray*}$ .
Wobei das ein extrem folgenreicher Vertipper ist, es macht einen massiven Unterschied bei n-ten Einheitswurzeln ob (char K)|n oder nicht.

Genau um diesen endlichen Koerper geht es.
Was ist (char K)(Gruppenordnung?!) und welchen Unterschied macht es?

Zitat:

Ein Polynom ist keine Einheitswurzel.

Das verwirrt mich etwas - Die Einheitswurzeln dieses Koerpers sind ja nunmal Elemente des Koerpers damit Polynome (wie auch 1 ein Polynom und das hatten wir ja schon als Einheitswurzel festgemacht).

Zitat:

Übrigens enthält der Körper 8 8-te Einheitswurzeln. Das ergibt sich mit etwas elementarer Gruppentheorie (Satz von Lagrange z.B.). Die Anzahl der primitiven EW ergibt sich z.B. mit Kenntnis der Struktur von $\begin{eqnarray*} K^* \end{eqnarray*}$ .

Sollte das nicht zur Verfügung stehen bleibt nur händisches nachrechnen.

Auf Lagrane habe ich mich ja auch schon in meinen Ideen bezogen. Das eine Untergruppe der n-ten Einheitswurzeln nur vom Grad 1,2,4 oder 8 sein kann ist mir auch klar.
Die Frage waere hier, woher du weisst, dass der Koerper 8 8-te Einheitswurzeln hat?

Vielen Dank fuer die bisherigen Antworten!

18.02.2014, 18:21

Captain Kirk

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Zitat:

Was ist (char K)(Gruppenordnung?!) und welchen Unterschied macht es?

Charakteristik, eine der Grundbegriffe der Körpertheorie:
de.wikipedia.org/wiki/Charakteristik_%28Mathematik%29
Der Unterschied: Der Fall (char K)|n ist der angenehme Fall, der Andere der weniger angenehme Fall. Genauere Unterschiede aufzulisten wäre hier zu ausufernd, konsultiere ein Algebra-Buch deiner Wahl. (wobei einige nur den angenehmen Fall betrachten)

Zitat:

Die Einheitswurzeln dieses Koerpers sind ja nunmal Elemente des Koerpers damit Polynome

Die Elemente des Körpers, so wie er hier dargestellt wird, sind keine Polynome sondern Äquivalenzklassen von Polynomen. Das ist ein Riesenunterschied.

Zitat:

Auf Lagrane habe ich mich ja auch schon in meinen Ideen bezogen. Das eine Untergruppe der n-ten Einheitswurzeln nur vom Grad 1,2,4 oder 8 sein kann ist mir auch klar. Die Frage waere hier, woher du weisst, dass der Koerper 8 8-te Einheitswurzeln hat?

Was sagt Lagrange denn über die Ordnung von Gruppenelementen? (betrachtet in $\begin{eqnarray*} (K^*,\cdot ) \end{eqnarray*}$ )
Was für Ordnungen haben die 8-ten EW?

18.02.2014, 18:46

mookoo

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Zitat:

Was sagt Lagrange denn über die Ordnung von Gruppenelementen? (betrachtet in $\begin{eqnarray*} (K^*,\cdot ) \end{eqnarray*}$ )

Lagrange sagt in diesem Fall, dass die Ordnung der Gruppenelemte 1,2,4 oder 8 sein kann (Teiler der Gruppenordnung)

Zitat:

Was für Ordnungen haben die 8-ten EW?

Die Einheitswurzel 1 hat z.B. die Ordnung 1.

Du meintest vorhin, dass es 8 primitive 8-te Einheitswurzeln geben wuerde, also jedes Koeperelement auch eine Einheitswurzel ist?!

18.02.2014, 18:53

Captain Kirk

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Zitat:

Lagrange sagt in diesem Fall, dass die Ordnung der Gruppenelemte 1,2,4 oder 8 sein kann (Teiler der Gruppenordnung)

und das sagt, dass alle Gruppenelemente 8-te EW(EinheitsWurzel) sind.

Zitat:

dass es 8 primitive 8-te Einheitswurzeln geben wuerde, also jedes Koeperelement auch eine Einheitswurzel ist?!

Ich sagte es gibt 8 8-te EW.
0 ist sicherlich keine EW, also sind nicht alle Körperelemente EW.

Zu den primitiven:

Zitat:

Die Anzahl der primitiven EW ergibt sich z.B. mit Kenntnis der Struktur von $\begin{eqnarray*} K^* \end{eqnarray*}$ .

Dir ist der Unterschied zwischen EW und primitive EW klar?

18.02.2014, 19:11

mookoo

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Zitat:

Original von Captain Kirk

Zitat:

Lagrange sagt in diesem Fall, dass die Ordnung der Gruppenelemte 1,2,4 oder 8 sein kann (Teiler der Gruppenordnung)

und das sagt, dass alle Gruppenelemente 8-te EW(EinheitsWurzel) sind.

Zitat:

dass es 8 primitive 8-te Einheitswurzeln geben wuerde, also jedes Koeperelement auch eine Einheitswurzel ist?!

Ich sagte es gibt 8 8-te EW.
0 ist sicherlich keine EW, also sind nicht alle Körperelemente EW.

Zu den primitiven:

Zitat:

Die Anzahl der primitiven EW ergibt sich z.B. mit Kenntnis der Struktur von $\begin{eqnarray*} K^* \end{eqnarray*}$ .

Dir ist der Unterschied zwischen EW und primitive EW klar?

Dieser Unterschied war bis gerade nicht klar. Danke!
Ich meine mit den Koperelementen auch all die aus K* - es mangelt bei mir einfach noch am umfassenden Verstaendnis um immer die korrekten Begriffe zu nutzen Augenzwinkern

Den Zusammenhang zur Ordnung der Gruppenelemente seh ich noch nicht 100%ig - Wie ist der Zusammenhang, wenn ich zB alle 4-ten Einheitswurzeln suchen wuerde?

18.02.2014, 20:39

Captain Kirk

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Zitat:

- es mangelt bei mir einfach noch am umfassenden Verstaendnis um immer die korrekten Begriffe zu nutzen

Blöderweise bedingt sich das etwas gegenseitig. Ohne Verwendung korrekter Begriffe wird es auch schwer mit dem umfassenden Verständnis. MMn ist es meist einfacher sich zuerst mit den Begriffen auseinanderzusetzen.

Zitat:

Den Zusammenhang zur Ordnung der Gruppenelemente seh ich noch nicht 100%ig - Wie ist der Zusammenhang, wenn ich zB alle 4-ten Einheitswurzeln suchen wuerde?

Es gilt folgende Folgerung aus Lagrange:
Ist G eine endliche, multiplikativ geschriebene Gruppe so gilt für alle $\begin{eqnarray*} x\in G \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} x^{|G|}=1 \end{eqnarray*}$ .
Und die n-ten EW (die in einem Körper K liegen) sind gerade die Nullstellen des Polynoms $\begin{eqnarray*} X^n-1 \end{eqnarray*}$ (die in K sind).

18.02.2014, 22:13

mookoo

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Zitat:

Original von Captain Kirk
Es gilt folgende Folgerung aus Lagrange:
Ist G eine endliche, multiplikativ geschriebene Gruppe so gilt für alle $\begin{eqnarray*} x\in G \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} x^{|G|}=1 \end{eqnarray*}$ .
Und die n-ten EW (die in einem Körper K liegen) sind gerade die Nullstellen des Polynoms $\begin{eqnarray*} X^n-1 \end{eqnarray*}$ (die in K sind).

Und bedeutet diese Folgerung im Umkehrschluss, dass wenn ich ein Element in $\begin{eqnarray*} K^* \end{eqnarray*}$ mit der Ordnung n habe, dann ist dieses Element und alle Elemente der Untergruppe, die dieses Element erzeugt, eine n-te Eineheitswurzel?

18.02.2014, 22:50

Captain Kirk

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Ja, das kann man so sagen.

18.02.2014, 23:02

mookoo

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Super, vielen Dank für die ausführliche und geduldige Hilfe!!!
Nu is genug Mathe für heute Augenzwinkern

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