Integral Beweis/Komplexe Zahlen

18.02.2014, 20:33

Mille!

Integral Beweis/Komplexe Zahlen

Hey Leute!

Ich bin in meinem Buch eigtl im Kapitel Komplexe Zahlen. Mir ist zwar nicht klar, inwiefern ich Komplexe Zahlen bei der Lösung meines Problems brauche, aber vielleicht ist das für jemand kompetenteren wichtig zu wissen Augenzwinkern

Folgende Beziehung soll hergeleitet werden:

für $\begin{eqnarray*} \alpha > {0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \! {e^{-\alpha t}*sin (t)} \, dt = \frac{1}{\alpha^2 + 1} \end{eqnarray*}$

Ich hatte angefangen partiell zu integrieren, aber ich komme nicht im geringsten drauf, wie ich auf den gesuchten Bruch kommen kann. Kann mir jemand helfen bitte?

18.02.2014, 22:12

lego

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich seh auch gerade keinen konkreten Lösungsweg aber evtl muss man zwei mal partiell integrieren und erhält dann sowas wie Int(A)=B-Int(A) und dann kann man das zweite Int(A) auf die andere Seite bringen.

18.02.2014, 22:46

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral Beweis/Komplexe Zahlen

Zitat:

Original von Mille!
Ich bin in meinem Buch eigtl im Kapitel Komplexe Zahlen.

Dann nutze doch
$\begin{eqnarray*} \sin t=\frac{\mathrm e^{\mathrm it}-\mathrm e^{-\mathrm it}}{2\mathrm i}\,. \end{eqnarray*}$

19.02.2014, 18:59

Mille!

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay? Wie kommt man denn darauf?? - schon gefunden^^ thx

19.02.2014, 20:06

Mille!

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay gut jetzt habe ich das ausprobiert indem ich sin t durch den Term ersetzt habe, aber ich komme leider trotzdem nicht auf das ergebnis :-(

19.02.2014, 20:19

Grautvornix

Auf diesen Beitrag antworten »

Und um jetzt zu sehen wo's klemmt, solltest du deine Berechnungen mal präsentieren.

20.02.2014, 14:05

Mille!

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay also ich war bis dahin gekommen und dann bin ich relativ ratlos -.-

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty } \! {e^{-\alpha t}*\frac{e^{it}-e^{-it}}{2i} } \, dt = \frac{1}{2i} \int_0^{ \infty } \! {e^{(i-\alpha)t}-e^{(-i-\alpha)t}} \, dt = \frac{1}{2i} * \left[\frac{e^{(i-\alpha)t}}{i-\alpha} + \frac{e^{-(i+\alpha)t}}{i+\alpha}\right]_{0 }^{\infty} \end{eqnarray*}$

20.02.2014, 14:10

Mille!

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt könnte man die natürlich auch noch auf einen Nenner bringen dann hätte man im Nenner schon mal -1 und $\begin{eqnarray*} -\alpha^2 \end{eqnarray*}$ , was ja praktisch schon dem Nenner um -1 erweitert entspricht

20.02.2014, 14:30

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Na rechne doch erstmal

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2i} * \left[\frac{e^{(i-\alpha)t}}{i-\alpha} + \frac{e^{-(i+\alpha)t}}{i+\alpha}\right]_{0 }^{\infty} \end{eqnarray*}$

aus, das Rationalmachen der Nenner passt besser im nächsten Schritt.

20.02.2014, 14:34

Mille!

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hätten wir das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2i} \left[\frac{-(i+\alpha)e^{(i-\alpha)t}-(i-\alpha)e^{-(i+\alpha)t}}{\alpha^2+1}\right]_{0}^{\infty} \end{eqnarray*}$

Dann müsste das ja bedeuten, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2i} \left[-(i+\alpha)e^{(i-\alpha)t}-(i-\alpha)e^{-(i+\alpha)t}\right]_{0}^{\infty} =1 \end{eqnarray*}$

Richtig? Kann mir da jemand weiter helfen?

20.02.2014, 14:44

Grautvornix

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt noch eine winzige Umformung:

$\begin{eqnarray*} \frac 1{2i} \left[\frac{e^{(i-\alpha)t}}{i-\alpha} + \frac{e^{-(i+\alpha)t}}{i+\alpha}\right]_0^{\infty}=\frac 1{2i}\left[e^{-\alpha t}\left(\frac{e^{it}}{i-\alpha} + \frac{e^{-it}}{i+\alpha}\right)\right]_0^\infty. \end{eqnarray*}$

An der Stelle 0 sollte die Auswertung keine Probleme bereiten und da der rechte Faktor innerhalb der eckigen Klammer beschränkt ist und $\begin{eqnarray*} \alpha>0 \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt ist, sollte der Grenzwertbetrachtung an der 'oberen' Grenze auch klar sein.

20.02.2014, 14:59

Mille!

Auf diesen Beitrag antworten »

Juhuuu!!! Ich hatte total das Brett vorm Kopf! Danke Danke!

Neue Frage »

Antworten »

Integral Beweis/Komplexe Zahlen

Verwandte Themen