Komplexe Gleichungen lösen

18.02.2014, 21:07

totti

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Komplexe Gleichungen lösen

Hallo zusammen,

ich habe mal eine Frage, wie man bei dem Lösen von komplexen Gleichungen am besten vorgeht?!
Wenn ich jetzt das Bsp. habe:

$\begin{eqnarray*} sin^2(z) - cos^2(z) =sin(2z) \end{eqnarray*}$

Jetzt weiß ich, da ich ein Additionstheorem kenne welches lautet:
$\begin{eqnarray*} cos^2(z) - sin^2(z) =cos(2z) \end{eqnarray*}$
Stelle ich dies also um, mit * (-1) so erhalte ich auf der linken Seite meiner Gleichung ja Quasi den selben Ausdruck, dies kann ich jetzt durch $\begin{eqnarray*} -cos(2z) \end{eqnarray*}$ ersetzen.

So jetzt habe ich mir Gedanken gemacht wie das Graphisch aussehen könnte. Ich muss also wissen, dass ein doppelter Winkel, trotzdem noch eine normale Schwingung (z.b. cos) ist, allerdings mit der halben Periodendauer?!
Somit sehen beiden Verläufe schonmal identisch aus. jetzt muss ich also wissen wann diese Gleich sind oder? Das bedeutet doch den Schnittpunkt oder?

Meine Frage diesbezüglich ist, wie ich am besten an sowas heran gehe, soll ich auch für viel kompliziertere Beispiele ausschließlich Definitionen verwenden? Denn ich bin ganz ehrlich, damit verhasple ich mich relativ schnell, grade wenn es um den Sinus mit dem j geht...

Danke

19.02.2014, 09:08

mYthos

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Die Lösungen dieser goniometrischen Gleichung sind reell.
Denn

$\begin{eqnarray*} -\cos 2z = \sin 2z \end{eqnarray*}$

ist identisch mit

$\begin{eqnarray*} \tan 2z = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2z = \frac{3 \pi} 4 + k \cdot \pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

mY+

19.02.2014, 10:15

totti

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woher weißt du das, dass es so ist...was muss man um das zu sehen lernen???

muss man alle möglichen Funktionsverläufe kennen...und sich die vorstellen können?

Oder bist du durch Definitionen drauf gekommen?

19.02.2014, 11:02

Steffen Bühler

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Es gilt

$\begin{eqnarray*} \tan(x+{\mathrm {i}}\!\cdot \!y)={\frac {\sin(2x)}{\cos(2x)+\cosh(2y)}}+{\mathrm {i}}\;{\frac {\sinh(2y)}{\cos(2x)+\cosh(2y)}} \end{eqnarray*}$

Wenn also der Tangens einer komplexen Zahl den Wert -1 annimmt (also rein reell ist!), muss der Imaginärteil rechts verschwinden. Und das ist nur dann der Fall, wenn sinh(2y) Null ist. Das ist nur bei y=0 der Fall. Also wird die Gleichung nur erfüllt, wenn das Argument des Tangens rein reell ist.

Viele Grüße
Steffen

19.02.2014, 11:13

totti

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Danke, dies werde ich nachher mal versuchen zu verstehen..
in den nächsten Wochen kann es durchaus sein, dass ich mit solchen Fragen zu diesem Aufgabentyp öfter kommen werde.
Dann aber mit komplexeren Aufgaben...

Danke

19.02.2014, 11:28

mYthos

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Einfacher wird es mit der Methode von Steffen jedoch nicht.
M. E. braucht man diese hier nicht, als Beweis natürlich schon ...
Denn nun muss die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x} = -1 \end{eqnarray*}$

gelöst werden.

Warum soll die im Erstpost genannte Umformung nicht angewandt werden?
Diese ist - infolge der weitgehenden Permanenz der formalen Rechengesetze - durchaus "legal".

Zitat:

Original von totti
woher weißt du das, dass es so ist...was muss man um das zu sehen lernen???

muss man alle möglichen Funktionsverläufe kennen...und sich die vorstellen können?

Oder bist du durch Definitionen drauf gekommen?

Du brauchst nur die Beziehung $\begin{eqnarray*} \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \end{eqnarray*}$ zu kennen.

Die Division der gegebenen Gleichung durch $\begin{eqnarray*} \cos z \end{eqnarray*}$ ist erlaubt, weil im gegenständlichen Fall cos z NICHT Null sein kann.

mY+

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19.02.2014, 12:02

Steffen Bühler

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Es war zunächst nicht offensichtlich (jedenfalls nicht totti und mir), dass tan(z)=-1 nur reelle Lösungen hat.

Schließlich hätte es ja "irgendwie" sein können, dass es eine nicht rein reelle Zahl z gibt, die als Argument des Tangens ebenfalls -1 ergibt. Beziehungsweise die Gleichung sinz+cosz=0 erfüllt.

Erst nachdem das nun bewiesen ist, kann man sich auf die einfache Gleichung tan(x)=-1 stürzen, mit rein reellem x. Aber ich finde, man muss es beweisen.

Viele Grüße
Steffen

19.02.2014, 23:53

totti

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Also beweisen muss man das zuvor nicht, soweit ich das weiß.
Es reicht wenn man die additiontheoreme kennt, die ja bereits bewiesen sind.

@myhtos:
Das sehe ich wie Steffen, ich sehe es nicht sofort das die Gleichung nur reelle Losungen hat.
Und die Definition von Fan kenne ich, wie kommst du aber von der oben genannten Gleichung auf deine?
Danke

20.02.2014, 01:49

mYthos

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Es gilt (Additionstheorem)

$\begin{eqnarray*} \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x \end{eqnarray*}$

Damit wurde die linke Seite deiner Gleichung zu

$\begin{eqnarray*} - \cos 2z \end{eqnarray*}$

somit

$\begin{eqnarray*} -\cos 2z = \sin 2z \end{eqnarray*}$

und (mittels Division)

$\begin{eqnarray*} \tan 2z = -1 \end{eqnarray*}$

mY+

20.02.2014, 11:00

HAL 9000

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Ich stimme Steffen zu: Es hängt eben davon ab, wieviel Kenntnisse über die komplexe Tangensfunktion man hat bzw. benutzen darf. Sollte dies eher "dünn", dann kann man mittels

$\begin{eqnarray*} t = \tan(z) = \frac{\sin(z)}{\cos(z)} = \frac{-i\sinh(iz)}{\cosh(iz)} = -i\tanh(iz) = -i\frac{e^{2iz}-1}{e^{2iz}+1} \end{eqnarray*}$ ,

umgestellt zu

$\begin{eqnarray*} e^{2iz} = \frac{1+it}{1-it} \qquad (*) \end{eqnarray*}$

das ganze auf die komplexe Exponentialfunktion zurückführen, die (jetzt mal vorausgesetzt) besser bekannt ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Diese komplexe Exponentialfunktion ist periodisch mit kleinster Periode $\begin{eqnarray*} 2\pi i \end{eqnarray*}$ , damit hat man für (*) im Fall $\begin{eqnarray*} t\neq \pm i \end{eqnarray*}$ unendlich viele Lösungen $\begin{eqnarray*} 2iz_k = 2iz_0 + 2k\pi i \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} z_k = z_0 + k\pi \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ . Also Periodizität $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ der Tangensfunktion auch im Komplexen, wie man es vom Reellen her kennt und von mYthos auch aufgeschrieben wurde.

24.02.2014, 01:12

totti

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Ich verstehe ja , dass was Steffen und HAL meinen, allerdings teile ich auch die Ansicht von mYthos.

Die Additionstheoreme werden vorausgesetzt das man sie kann. Wenn dies nicht der Fall sein sollte, dann muss man eben Definitionen einsetzen.

Bei der ganzen Geschichte habe ich im übrigen auch die Vorgehensweise benutzt, dass ich mittels Substitution vorgehe.
Also eine Substitution eines geeigneten Ausdrucks der z enthält. Quasi Polynomgleichung

Anschließend Polynomdivision lösen und Resubstituieren dann Exponentialgleichung...

Anschließend die Exponentialgleichung lösen mit Hilfe des komplexe Log

Und dann halt real und imaginär Teil darstellen...
Dafür muss natürlich die Def. des komplexen Log bekannt sein.

Diesen Weg finde ich allerdings um einiges schwieriger, da man sich ziemlich schnell verhaspeln kann. In unsere Klausur dürfen wir keinen TR benutzen.
Es kann also durch aus in den Klausuren voraussetzt werden, dass alle möglichen Trigonometrischen Funktionen und Hyperbolischen Funktionen bekannt sind.
Daher ist der Lösungsweg von mYthos was meine Anwendung betrifft legitim.
Und ich denke mein Prof würde diese auch gelten lassen, werde dies aber diese Woche nochmals Nachfragen.

Und wenn man dann die Gleichung $\begin{eqnarray*} tan(2z) =-1 \end{eqnarray*}$ hat, muss man also noch wissen wann der Tangens -1 wird. Also der $\begin{eqnarray*} arctan(-1) \end{eqnarray*}$ ?!?!

das sollte ich wissen, denn dies ist bei 45° bzw. bei $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}\pi \end{eqnarray*}$

Da eine Funktion sei es Sinus oder Kosinus oder Tangens mit einem Winkel von 2z bedeutet, dass es eine Halbierung der Perdiodendauer ist muss ich also diesen Wert noch durch 2 teilen.

Ergebnis also: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{8}\pi +2\pi k (k \in \mathbb Z) \end{eqnarray*}$

Und der Imaginäre Teil ist somit $\begin{eqnarray*} Im(z) = 0 \end{eqnarray*}$

?!?!

Edit: Das Ergebnis müsste eigentlich Pi periodisch sein?!

Ne der Tangens ist Pi periodisch, bedeutet, dass der Tangens mit dem doppelten Winkel sogar Pi/2 periodisch ist?!

24.02.2014, 01:40

mYthos

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Zitat:

Original von totti
...
Und wenn man dann die Gleichung $\begin{eqnarray*} tan(2z) =-1 \end{eqnarray*}$ hat, muss man also noch wissen wann der Tangens -1 wird. Also der $\begin{eqnarray*} arctan(-1) \end{eqnarray*}$ ?!?!

das sollte ich wissen, denn dies ist bei 45° bzw. bei $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}\pi \end{eqnarray*}$
...

Nein, das stimmt NICHT.
arctan(-1) = 3pi/4 bzw. 135°

Ja, der tan hat die Periodenlänge pi, der des doppelten Winkels natürlich pi/2

mY+

24.02.2014, 02:17

totti

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Stimmt, also ist es dementsprechend doch $\begin{eqnarray*} \frac{3}{8} \pi +\frac{\pi }{2} k (k\in \mathbb Z) \end{eqnarray*}$ ???

24.02.2014, 12:30

mYthos

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Ja, so.

smile

24.02.2014, 14:39

totti

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Kommt es bei der Geschichte eigentlich drauf an, wie ich das Argument definiert habe?

Also wir definieren das so : $\begin{eqnarray*} (-\pi | \pi ] \end{eqnarray*}$

24.02.2014, 15:19

mYthos

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Du meinst damit die Definitionsmenge der Gleichung.
Alle in Frage kommenden Lösungen müssen dieser Menge entstammen.

24.02.2014, 15:38

totti

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Ja das Argument benötige ich ja im Prinzip nur, wenn ich wenn ich nachher mit dem komplexen Log rechnen möchte oder?

Denn der komplexe Log ist ja definiert durch:

$\begin{eqnarray*} ln_\mathbb R (| e^{jz} | ) +j arg(z) \end{eqnarray*}$

25.02.2014, 21:28

totti

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Zitat:

Original von totti
Stimmt, also ist es dementsprechend doch $\begin{eqnarray*} \frac{3}{8} \pi +\frac{\pi }{2} k (k\in \mathbb Z) \end{eqnarray*}$ ???

@mYhtos: ist das nicht falsch???

ist es nicht entweder $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4} \pi +\frac{\pi }{2} k (k\in \mathbb Z) \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{8} \pi +\pi k (k\in \mathbb Z) \end{eqnarray*}$

???

25.02.2014, 22:51

mYthos

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Beide deiner Vorschläge sind falsch.
Setze doch mal 3pi/4 in tan(2z) = -1 ein, sofort siehst du, dass tan(3pi/2) nicht -1 sein kann.
Zweitens ist die Periodenlänge des Tangens pi (und nicht 2pi), somit lautet die Periodenlänge bei tan (2z) für die Lösung eben pi/2

mY+

26.02.2014, 10:14

totti

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Gut also ich habe für das Funktionsverständnis mal den den $\begin{eqnarray*} tan(2z)=-1 \end{eqnarray*}$ mir bei Wolfram Alpha polten lassen.

Ich weiß auch nicht, wo ich geschrieben haben soll, das die Perdiodenlänge $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ sein soll.
Ich weiß das dass doppelte des Winkels eine Halbierung der Periodenlänge bewirkt.
Und der Tangens ist nunmal $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ periodisch. Also $\begin{eqnarray*} tan(2z) \end{eqnarray*}$ ist also $\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$ periodisch.

So jetzt zu dem Ergebnis, welches mir Wolfram Alpha ausspuckt:

$\begin{eqnarray*} z=\frac{1 }{8} (4\pi n - \pi ) , n\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

Multipliziere ich die Klammer aus, komme ich ja auf $\begin{eqnarray*} \frac{1 }{2}\pi n - \frac{ \pi }{ 8 } \end{eqnarray*}$

So das ist doch $\begin{eqnarray*} \frac{3 }{8} \pi \end{eqnarray*}$ mit einer Periodenlänge von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$

Allerdings wenn ich den tan(z)=-1 betrachte, weiß ich das dieses Ergebnis $\begin{eqnarray*} \frac{3 }{4} \pi + \pi k \end{eqnarray*}$ ist.
Teile ich jetzt alles durch 2, komme ich auf das ursprüngliche.

Mein Problem ist, dass ich gerne meine Rechnungen bei Wolfram Alpha vergleichen lassen möchte. Nur dafür , muss ich erstmal die Lösung verstehen die die Aufschreiben...

Danke vielmals für deine Hilfe

28.02.2014, 19:57

mYthos

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Zitat:

Original von totti
...
So jetzt zu dem Ergebnis, welches mir Wolfram Alpha ausspuckt:

$\begin{eqnarray*} z=\frac{1 }{8} (4\pi n - \pi ) , n\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

Multipliziere ich die Klammer aus, komme ich ja auf $\begin{eqnarray*} \frac{1 }{2}\pi n - \frac{ \pi }{ 8 } \end{eqnarray*}$

So das ist doch $\begin{eqnarray*} \frac{3 }{8} \pi \end{eqnarray*}$ mit einer Periodenlänge von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$
...

Der Fehler liegt genau in der letzten Zeile des Zitats. Die Periodenlänge steht nun mal beim n, wie begründest du deine Aussage, dass dies nicht zutrifft?

Tipp:
Setze mal für n nacheinander n = 1, 2, 3, 4, ..., dann siehst du es Big Laugh

Big Laugh

Die Differenz ist immer $\begin{eqnarray*} \frac{4\pi}8 \end{eqnarray*}$

mY+

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