Grenzwert mit Winkelfunktion

19.02.2014, 00:59

Haramune

Grenzwert mit Winkelfunktion

Edit opi: Titel geändert und Aufgabe aus dem Titel geholt:

kann mir jemand sagen wieso der Grenzwert lim x -->0 von f(x)=(sin (x))/(x) = 1 ist?

Meine Frage:
Kann mir das bitte jemand erklären, herleiten, etc.?

19.02.2014, 00:59

Gast11022013

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Das kannst du ganz leicht mit L 'Hospital zeigen.
Der sollte doch bekannt sein, oder?

19.02.2014, 01:00

Haramune

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schonmal was gelesen.. da muss ja der Zähler und Nenner gen 0 gehen

19.02.2014, 01:02

Gast11022013

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Alternativ geht es mit der Reihendarstellung des Sinus.

19.02.2014, 01:04

Haramune

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Bei L'hospital, da muss ja der Zähler und Nenner gen 0 gehen. das bedeutet, einfach die Ableitung von x ist 1.
Deshalb?

19.02.2014, 01:07

Gast11022013

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L 'Hospital sagt, dass wenn du einen Grenzwert untersuchst und du einen unbestimmten Ausdruck erhältst wie

$\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$ , dass den Quotient der Ableitungen untersuchen kannst.
Du bildest also in Zähler und Nenner die Ableitung und guckst dann was passiert wenn das gegen Null geht.
Also nicht nur die Ableitung im Nenner bilden.

19.02.2014, 01:10

Haramune

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Ich weiß jetzt ehrlich gesagt nicht was mit der Reihendarstellung des Sinus gemeint ist. Hatte noch kürzlich komplexe zahlen durchgenommen, das kann also nicht so schwierig sein..
Lass mal gucken...
sin(x) ist ja die Darstellung auf der y-Achse. Lim x ist 0. Hmm... ich glaub ich weiß ungefähr was damit gemeint ist, GMasterflash. Wär aber trotzzdem toll wenn Du es auf deiner Weise erklären könntest. smile

19.02.2014, 01:13

Gast11022013

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So tiefsinnig ist das gar nicht.
Den Sinus stellt man über diese Reihe dar:

$\begin{eqnarray*} sin(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!} \end{eqnarray*}$

Das könntest du nun ein wenig ausschreiben und eben durch x teilen. Dann fällt schnell auf was passiert wenn man dies nun gegen Null gehen lässt.

Wenn du L 'Hospital jedoch kennst, würde ich es damit machen.
Wenn du die Reihendarstellung des Sinus kennst und L 'Hospital nicht, dann eben mit der Reihendarstellung.
Oder du machst einfach direkt beides.

19.02.2014, 01:27

Haramune

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he heyy, danke! Da steht doch tatsächlich was dazu im Internet. Big Laugh

Mit deiner Erläuterung ist jetzt wieder alles klar. Die andere Integralrechnung habe ich auch im Übrigen schon durch. Thema kann geschlossen werden. Auf! Prost

19.02.2014, 01:31

Mulder

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Wenn man L'Hospital benutzen will, kennt man die Ableitung des Sinus ja eh schon. Man erkennt ja direkt, dass das gerade die Ableitung des Sinus' in 0 ist (fasse das einfach als Differentialquotienten auf). Und was cos(0) ist, weiß man ja. Augenzwinkern

19.02.2014, 01:32

Gast11022013

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Gern geschehen.

19.02.2014, 01:47

Haramune

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AAAH!! Lucy, rettet sich wer kann! geschockt

*Referenz zu Mulder* ^^

19.02.2014, 09:32

Grautvornix

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Elementargeometrisch beweisen/motivieren lässt sich folgende Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \sin(x)<x<\tan(x) \text{ für }0<x<\frac{\pi}2 \end{eqnarray*}$

aus welcher dann sofort das Sandwich

$\begin{eqnarray*} \cos(x)<\frac{\sin(x)}x<1 \end{eqnarray*}$

folgt.

19.02.2014, 10:28

HAL 9000

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Die Katze beißt sich in den Schwanz...
@Grautvornix

Ganz meine Meinung. Diese "Beweise" per L'Hospital setzen ja $\begin{eqnarray*} (\sin(x))' = \cos(x) \end{eqnarray*}$ voraus, aber so wie ich das kenne, basiert (zumindest bei elementargeometrischer Definition von sin/cos) der Beweis dieser Ableitung wiederum auf jenem Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \end{eqnarray*}$ ,

d.h., der klassische Zirkelschluss. Augenzwinkern

Natürlich kann man ausweichend argumentieren, dass man sin/cos durch Potenzreihen definiert - in dem Fall wäre dann aber irgendwann der Beweis angebracht, dass dies mit der geometrischen Definition übereinstimmt.

P.S.: Irgendwie hatten wir diese Diskussion schon mal, vermutlich sogar mehrfach, aber ich find's momentan nicht.

EDIT: Das falsche $\begin{eqnarray*} x\to\infty \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x\to 0 \end{eqnarray*}$ korrigiert - Danke an 360° für den Hinweis. smile

19.02.2014, 10:45

Mulder

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RE: Die Katze beißt sich in den Schwanz...
Ja, Zündstoff bietet dieser Grenzwert wohl. Augenzwinkern

Meintest du etvl. diese Thread? Diskussion: sin(x)/x für x gegen 0

(ansonsten finden sich dort ja noch zahlreiche Links zu anderen Threads)

19.02.2014, 10:46

360°

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RE: Die Katze beißt sich in den Schwanz...

Zitat:

Original von HAL 9000

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \end{eqnarray*}$ ,