Berechnen einer inversen Koordinatenabbildung

19.02.2014, 11:52

David Steiman

Berechnen einer inversen Koordinatenabbildung

Meine Frage:
Gegeben seien der Vektorraum
$\begin{eqnarray*} V := \left\{ A \in \mathbb R ^{2x2} | obere Dreiecksmatrix \right\} \end{eqnarray*}$
mit der Basis

$\begin{eqnarray*} \beta = \left\{ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

und die linare Abbildung

$\begin{eqnarray*} L : V -> V, \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} |-> \begin{pmatrix} -a & -2a \\ 0 & 2a - b + 2c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Von mir wurde weiterhin berechnet: die darstellende Matrix bzgl. der Basis
$\begin{eqnarray*} L_\beta = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und es wurde gezeigt, dass
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ein Eigenvektor zum Eigenwert -1 ist.

Nun wird gefordert, die vollständige Abbildungsvorschrift der inversen Koordinatenabbildung anzugeben.

Meine Ideen:
Dies ist natürlich lösbar, wenn man zunächst per Gauß die Koordinatenabbildung und wieder durch Gauß dann die inverse bildet. Nur ist das eine Prüfungsaufgabe, und 2 mal gaußen, so viel Zeit wird man nicht haben. Da muss es wohl einen Zusammenhang zwischen den gegebenen Werten geben, sodass ich durch einen Trick dann die Inverse habe. Nur fällt mir keiner ein leider....wie würde man das machen?

19.02.2014, 12:24

weisbrot

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RE: Berechnen einer inversen Koordinatenabbildung

Zitat:

Dies ist natürlich lösbar, wenn man zunächst per Gauß die Koordinatenabbildung und wieder durch Gauß dann die inverse bildet.

wie würdest du das machen? koordinatenabbildungen sind i.a. keine matrizen!

was macht die koordinatenabbildung? macht, bei gegebener basis $\begin{eqnarray*} \mathcal B = \{b_1, \ldots, b_n\} \end{eqnarray*}$ , aus einem abstrakten vektor $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ , den zeilenvektor seiner koordinaten, also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} v = \alpha_1 b_1 + \ldots + \alpha_n b_n \end{eqnarray*}$ . also: $\begin{eqnarray*} v = \alpha_1 b_1 + \ldots + \alpha_n b_n \mapsto \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
was macht dann die inverse davon? genau, einfach andersrum: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{pmatrix} \mapsto \alpha_1 b_1 + \ldots + \alpha_n b_n \end{eqnarray*}$ - fertig, da gibts nichts mehr zu rechnen, du könntest das in deinem beispiel höchstens noch schön zusammenfassen.

lg

19.02.2014, 12:31

David Steiman

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jetzt wo du es sagst, will die Tischkante mein Gesicht näher kennenlernen....

Ich danke sehr für den Hint Augenzwinkern

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