Reihe mit komplexer Zahl

19.02.2014, 17:16

WhoEver

Reihe mit komplexer Zahl

Hallo, ich habe hier diese Reihe
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n 2^ki^k\begin{pmatrix} n \\ k\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und soll sie vereinfachen. Und Aussage über Konvergenz bestimmen.

Ich habe keine Ahnung was ich machen soll. Mir ist klar, dass ich n über k umschreiben kann, weiß aber nicht was mir das dann bringt.

19.02.2014, 17:24

weisbrot

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RE: Reihe mit komplexer Zahl
ich würde einfach den binomischen lehrsatz benutzen.
lg

21.02.2014, 16:55

WhoEver

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Hmm, du meinst den
$\begin{eqnarray*} (x+y)^{n}=\sum _{{k=0}}^{{n}}{\binom {n}{k}}x^{{n-k}}y^{{k}}\quad \end{eqnarray*}$ ?

Aber ich habe doch kein n-k drin.
Das einzige was ich sehe ist:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n (2i)^k\begin{pmatrix} n \\ k\end{pmatrix} * 1^{n-k} \end{eqnarray*}$

Darf man das einfach so dazuschreiben?

21.02.2014, 18:32

HAL 9000

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Man "darf", schließlich ändert Faktor $\begin{eqnarray*} 1^{n-k}=1 \end{eqnarray*}$ nicht den Wert des Summanden. Augenzwinkern

22.02.2014, 16:15

WhoEver

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Ja, ist klar. Wollte nur sicher gehen, dass er das meint.

Ist dann mein Ergebnis: (1 + 2i)^n ?

Erm, wenn ich hier den Real und Imaginärteil bestimmen soll, wie gehe ich da vor?

Ich würde da jetzt einfach mal die Wurzel ziehen, aber im komplexen muss man ja diese Formel anwenden und n-1-mal die Wurzel ziehen.
Gibt es eine Möglichkeit wie man es hier macht?

23.02.2014, 00:21

weisbrot

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ja ist richtig. und das sollte am einfachsten mit hilfe von polarkoordinaten gehen. keine ahnung was du da mit wurzeln willst(?)
lg

23.02.2014, 22:49

WhoEver

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Stimmen da dann auch die Vorzeichen? Wolframalpha gibt es immer mit einer -1 davor aus.

Naja, wie soll ich den hier den Im/Re eindeutig bestimmen, wenn es doch eine Exponentialfunktion ist?

Ich habe es mir so gedacht:
z=(1 + 2i)^n
z^(1/n) = 1+2i

phi = arctan(2/1)

|z^(1/n)| = sqrt(1+4)

Und jetzt muss ichn-mal die Wurzel ziehen!?

Also: z= (sqrt(5)^(1/n)) * cos(2PI*phi/n) + i sin(2PI*pi/n))

Da habe ich doch dann immer einen anderen RE/IM Teil.

Oder was meinst du?

24.02.2014, 23:57

weisbrot

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Zitat:

Also: z= (sqrt(5)^(1/n)) * cos(2PI*phi/n) + i sin(2PI*pi/n))

wie kommst du denn darauf? es ist $\begin{eqnarray*} z^n = |z|^n \Big(\cos({n \cdot \arg(z)}) + \mathrm i \cdot \sin({n \cdot \arg(z)})\Big) \end{eqnarray*}$

rechne den winkel arg(z) aus, setz da z = 1+2i ein, und dann kannst du real- und imaginärteil ablesen.

lg

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