residuensatz

19.02.2014, 17:48	jokie19	Auf diesen Beitrag antworten »
residuensatz Meine Frage: Hallo Leute, ich habe hier folgende Aufgabestellung: Lösen sie FOlgendes Integral möglichst einfach: $\begin{eqnarray} \int_c \! \frac{2z-i}{(1+4z^2)^2} \, dz \end{eqnarray}$ C ist eine ellipse mit x= 1+2cos(t) und y=0,5(1+sin(t)) (0...t...2pi) Meine Ideen: Meine Idee zur Lösung ist der Residuensatz. die beiden Singularitäte müssten z1= $\begin{eqnarray} \frac{i}{2} \end{eqnarray}$ und z2= $\begin{eqnarray} \frac{-i}{2} \end{eqnarray}$ sein. Beide zweiter Ordnung. Da auch beide innerhalb der Ellipse liegen müsste sich das Integral mit I=2pii ( Res(f(z),z1)+ Res(f(z),z2)) berechnen lassen. Bei den Residuen kriege ich -2 und -2-4i raus. Stimmt mein prinzipielles Vorgehen, oder hab ich irgendwo einen totalen bock geschossen ? Das richtige Ergebniss ist - $\begin{eqnarray} \frac{pii}{4} \end{eqnarray}$ Wäre super wen mir jemand helfen kann
19.02.2014, 18:56	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} z_1 \end{eqnarray}$ ist ein Pol von erster Ordnung, $\begin{eqnarray} z_2 \end{eqnarray}$ von zweiter Ordnung. Allerdings liegt $\begin{eqnarray} z_2 \end{eqnarray}$ gar nicht im Innern der Ellipse und ist daher für die Anwendung des Residuensatzes unerheblich. Und das Residuum bei $\begin{eqnarray} z_1 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} - \frac{1}{8} \end{eqnarray}$ . Am besten noch einmal von vorne.
19.02.2014, 19:13	jokie19	Auf diesen Beitrag antworten »
hey, danke für die schnelle antwort. gut das die eine singularität nicht innerhalb liegt hab ich jetzt auch rausgefunden. Aber warum sind die pole von verschiedener Ordnung. Es müsste doch gelten $\begin{eqnarray} \frac{2z-i}{(1+4z^2)^2} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{2z-i}{(z-z1)^2(z-z2)^2} \end{eqnarray*}$ oder ? damit wären sie doch beide zweiter Ordnung.
19.02.2014, 19:31	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht nur auf den Nenner schauen ...
19.02.2014, 22:39	jokie19	Auf diesen Beitrag antworten »
aaach verdammt ... vielen vielen dank )

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